„Köbszámok” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Kapcs.Ford (vitalap | szerkesztései)
→‎A köbszámok tulajdonságai: Ez anno még helyesen szerepelt, valaki "kijavította".
Olivaw4254 (vitalap | szerkesztései)
Kicsit változtattam a formázáson, hogy egységes legyen. A reciprok összeg szerintem nem érdemel külön fejezetet, a generátorfüggvény biztos. (Anno a -2 is köbszám volt a cikk szerint.)
1. sor:
A '''köbszámok''' az ''n''³<sup>3</sup> = ''n''·''n''·''n'' alakban írható számok, ahol ''n'' [[egész számok|egész]]. Elnevezésükben a ''köb'' a latin cubus, vagyis [[kocka]] szóból származik.
 
Az első néhány pozitív köbszám az 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 1000...
15. sor:
* A köbszámok a [[négyzetszámok]] többszörösei, de van olyan négyzetszám, amely köbszám is egyben.
 
* Két (nem feltétlenül különböző) pozitív köbszám összege sohasem köbszám. Ez a [[nagy Fermat-tétel]] 3 kitevőre vonatkozó speciális esetének következménye. (Többtagú összegek esetében viszont már lehetséges ez: ''n''<sup>3</sup>-öt önmagával összeadva (''n''<sup>3</sup>)<sup>2</sup>-szer, (''n''<sup>3</sup>)<sup>3</sup> adódik, ami persze köbszám. De három köbszám összege is lehet köbszám, pl. 216=125+64+27, azaz 6<sup>3</sup>=5<sup>3</sup>+4<sup>3</sup>+3<sup>3</sup>).
 
* Az első ''n'' pozitív köbszám összege az ''n''-edik [[háromszögszám]] négyzete.
21. sor:
: <math>\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>
 
* Ha a pozitív páratlan számok sorozatát egy, kettő, három, ... hosszú blokkokra osztjuk, akkor az egyes blokkok összege rendre kiadja a pozitív köbszámokat:
 
: <math>\underbrace{1}_{1}\ \underbrace{3\ 5}_{8}\ \underbrace{7\ 9\ 11}_{27}\ \underbrace{13\ 15\ 17\ 19}_{64}\ \underbrace{21\ 23\ 25\ 27\ 29}_{125}\ \ldots</math>
41. sor:
 
* Minden racionális szám felírható három olyan tört összegeként, amelyekben a számláló és a nevező is köbszám, és ennyire szükség is van.
<!--: <math>3^3+4^3+5^3=6^3\,</math><!-- Ezt a példát nem értem. 6^3/1^3 az már önmagában megfelelő tört...-->
 
*A pozitív köbszámok reciprokainak összege az [[Apéry-konstans]], ami a [[Riemann-féle zéta-függvény]] által 3-ban felvett érték:
: <math>3^3+4^3+5^3=6^3\,</math><!-- Ezt a példát nem értem. 6^3/1^3 az már önmagában megfelelő tört...-->
 
== Reciprokösszeg ==
A pozitív köbszámok reciprokainak összege az Apéry-konstans, ami a [[Riemann-féle zéta-függvény]] által 3-ban felvett érték:
 
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \zeta{(3)} \approx 1,20205</math>
<!--Szerintem nem sok értelme van külön fejezetbe rakni. A generátorfüggvényt se biztos.-->
 
== Generátorfüggvény ==
Minden <math>(a_i)_{i\ge 0}</math> valós számsorozathoz formális hatványsor rendelhető, <math>\sum_{i \ge 0} a_i x^i</math>. Ez az adott számsorozat [[generátorfüggvény]]e. Ebben az összefüggésben a köbszámok sorozatát nullától kezdik: