|
A bizonyítás lépései részletesen:
'''1. lépés''' Az ''a'' és ''b'' által generált [[szabad csoport]] álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az ''a'', ''a''<sup>−1−1</sup>, ''b'' és ''b''<sup>−1−1</sup> karakterekből áll, úgy hogy ''a'' nincs ''a''<sup>−1−1</sup>, és ''b'' nincs ''b''<sup>−1−1</sup> mellett. Két ilyen karakterláncot úgy lehet összefűzni, hogy egymás mögé írjuk őket, majd a „tiltott” karaktereket kitöröljük (az [[egységelem]]mel helyettesítjük). Pl. ''abab''<sup>−1−1</sup>''a''<sup>−1−1</sup> összefűzve a ''abab''<sup>−1−1</sup>''a''-val ''abab''<sup>−1−1</sup>''a''<sup>−1−1</sup>''abab''<sup>−1−1</sup>''a''-t eredményezi, amiből ''b''<sup>−1−1</sup>''a''<sup>−1−1</sup>''ab'' törlése után ''abaab''<sup>−1−1</sup>''a'' marad. A karakterláncok ezen halmaza az összefűzés műveletével [[csoport]] az üres karakter <math>e</math> egységelemmel. Ezt a csoportot <math>F_2</math>-nek nevezzük.
karakter <math>e</math> egységelemmel. Ezt a csoportot <math>F_2</math>-nek nevezzük.
[[Fájl:Paradoxical decomposition F2.svg|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>−1−1</sup>) halmaz a [[Cayley-gráf]]ján ''F''<sub>2</sub>-nek]]
<math>F_2</math>-t a következőképpen bontjuk „paradox módon” diszjunkt halmazokra:
''S''(''a'') legyen az ''a''-val kezdődő sztringek halmaza, és hasonló módon definiáljuk ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>), ''S''(''b'') és ''S''(''b''<sup>−1−1</sup>)-et is. Tehát:
:<math>F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math>
:<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
A ''a'' ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>) jelentése, hogy minden ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>)-beli sztringet balról összefűzünk ''a''-val. Ez a bizonyítás egyik kulcsmomentuma. Most tekintsük a következőt: <math>F_2</math>-t négy részhalmara osztjuk – ''S''(''a''), ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>), ''S''(''b'') és ''S''(''b''<sup>−1−1</sup>) – (az <math>e</math> ezekben nincs benne, de ezzel ne foglakozzunk, mert a továbbiakban nem lesz jelentősége), aztán „eltoljuk” ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>)-t és ''S''(''b''<sup>−1−1</sup>)-t rendre ''a''-val és ''b''-vel való szorzással, majd képezzük az egyenlőségek szerinti uniókat, azaz elértük hogy a <math>F_2</math>-t létrehozzuk a 4 részhalmazból kétféleképpen, csupán 2-2 uniójával. Pont ez az, amit a gömbökkel akarunk csinálni.
'''2. lépés''' A 3 dimenzióban a <math>F_2</math>-höz hasonlóan viselkedő (vele [[izomorf]]) csoporthoz tekintsük a 3 dimenziós térben 2 egymásra merőleges tengelyt (legyen az x és z tengely) és az ezek körüli – π irracionális többszörösével (pl. arccos(1/3)) való – elforgatásokat, ''A''-t és ''B''-t. (A 2 dimenziós tér túl „szűk” ehhez, mert ott csak egy tengelyt tudunk választani, így csoportunk kommutatív lenne.) Könnyen belátható, hogy ''A'' és ''B'' pont úgy viselkedik, mint ''a'' és ''b'', így az ''A'' és ''B'' által generált csoport izomorf <math>F_2</math>-vel. Az ''A'' és ''B'' forgatások által generált csoportot nevezzük '''H'''-nak. Természetesen így már '''H''' paradox felbontása is megvan.
We now discuss each of these steps in more detail.
'''Step 1.''' The free group with two generators ''a'' and ''b'' consists of all finite strings that can be formed from the four symbols ''a'', ''a''<sup>−1−1</sup>, ''b'' and ''b''<sup>−1−1</sup> such that no ''a'' appears directly next to an ''a''<sup>−1−1</sup> and no ''b'' appears directly next to a ''b''<sup>−1−1</sup>. Two such strings can be concatenated and converted into a string of this type by repeatedly replacing the "forbidden" substrings with the empty string. For instance: ''abab''<sup>−1−1</sup>''a''<sup>−1−1</sup> concatenated with ''abab''<sup>−1−1</sup>''a'' yields ''abab''<sup>−1−1</sup>''a''<sup>−1−1</sup>''abab''<sup>−1−1</sup>''a'', which gets reduced to ''abaab''<sup>−1−1</sup>''a''. One can check that the set of those strings with this operation forms a group with neutral element the empty string <math>e</math>. We will call this group <math>F_2</math>.
[[Fájl:Paradox felbontás F2.png|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>−1−1</sup>) halmaz ''F''<sub>2</sub>-nek a [[Cayley ábra]]ján]]
The group <math>F_2</math> can be "paradoxically decomposed" as follows: let ''S''(''a'') be the set of all strings that start with ''a'' and define ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>), ''S''(''b'') and ''S''(''b''<sup>−1−1</sup>) similarly. Clearly,
:<math>F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math>
:<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
(The notation ''a'' ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>) means take all the strings in ''S''(''a''<sup>−1−1</sup>) and concatenate them on the left with ''a''.) Make sure that you understand this last line, because it is at the core of the proof. Now look at this: we cut our group <math>F_2</math> into four pieces (Forget about <math>e</math> for now, it doesn't pose a problem), then "shift" some of them by multiplying with ''a'' or ''b'', then "reassemble" two of them to make <math>F_2</math> and reassemble the other two to make another copy of <math>F_2</math>. That's exactly what we want to do to the ball.
'''Step 2.''' In order to find a group of rotations of 3D space that behaves just like (or "isomorphic to") the group <math>F_2</math>, we take two orthogonal axes and let ''A'' be a rotation of arccos(1/3) about the first and ''B'' be a rotation of arccos(1/3) about the second. (This step cannot be performed in two dimensions.) It is somewhat messy but not too difficult to show that these two rotations behave just like the elements ''a'' and ''b'' in our group <math>F_2</math>. We'll skip it. The new group of rotations generated by ''A'' and ''B'' will be called '''H'''. Of course, we now also have a paradoxical decomposition of '''H'''.
| 