„Gödel első nemteljességi tétele” változatai közötti eltérés

:''A Gödel-tétel ide irányít át. Más jelentéseihezd lásd a [[Gödel-tétel (egyértelműsítő lap)]] cikket.''

 

 

* '''Tétel''' – ''Gödel első nemteljességi tétele''

 

 

1 – ''Formális-axiomatikus elmélet'' alatt bármilyen formalizált (például [[elsőrendű nyelv]]re épített) [[axiomatikus-deduktív módszer|axiomatikus-deduktív]] elméletet érthetünk, melynek axiómarendszere rekurzívan felsorolható.

6 – ''Cáfolható'' egy ''S'' mondat, ha [[negáció]]ja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható.

 

 

1 – Ha egy elméletben minden mondat bizonyítható vagy cáfolható (itt a 'vagy' a 'megengedő vagy' értelmében veendő), akkor az elméletet ''negációteljes''nek nevezzük. Ha olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható, akkor az elméletet ''nemteljes''nek mondjuk, a szóban forgó bizonyíthatatlan illetve cáfolhatatlan mondatok elnevezése pedig: (az axiómarendszertől) ''független'' vagy ''eldönthetetlen'' kijelentések.

3 – Mint ismeretes, a klasszikus logikában (a [[parakonzisztens logikák]]kal szemben) egy elmélet pontosan akkor ellentmondásmenetes, ha van benne olyan mondat, mely nem levezethető (ez az ellentmondásmenetesség egy fontos jellemzése). Gödel első nemteljességi tétel ezen kívül azt is állítja, hogy van olyan nem levezethető mondat, melynek negációja sem vezethető le, azaz független mondat létezése ekvivalens az ellentmondásmentességgel (feltéve, hogy az elmélet elegendően erős).

 

A tétel megfogalmazható úgy is, hogy

: ''Minden elég erős, ellentmondásmentes elméletben van olyan mondat, mely eldönthetetlen, miközben ''igaz'' ''.

Itt az ''igaz'' minősítést abban az értelemben használják, ahogy [[Arisztotelész]], azaz úgy gondolják, minden kijelentés vagy igaz, vagy hamis. Ha elfogadjuk, hogy a mondatok igazságértéke felderítésének lényegében egyedüli útja az, hogy találunk-e hozzájuk levezetést, akkor súlyos episztemológiai állítással kerülünk szembe. Eszerint minden elég erős elméletben lesz olyan mondat, melynek igazságáról nem fogunk tudni meggyőződni, vagyis egyik (elég erős) formális-axiomatikus rendszer sem lesz képes arra, hogy maradéktalanul minden eldöntendő kérdésre válaszoljon. Sőt, nem arról van szó, hogy most még nincsenek meg a válaszaink, de ha elég sokat várunk, akkor valamelyik tudós csak megtalálja a helyes eredményt, hanem hogy elvileg kizárt, hogy bármikor is minden mondat igazságát levezetéssel megállapítsuk. A formális rendszerek tehát inkompetensek az összes kijelentés igazságának eldöntése dolgában.

 

{{csonk-dátum|csonk-szakasz|2006 augusztusából}}

 

A nemteljességi tétel bizonyítása ad egy konkrét zárt formulát, ami az adott rendszerben eldönthetetlen. Hosszú ideig nyitott kérdés volt, hogy például a Peano-axiómarendszer esetén így igazolható-e bármilyen matematikailag érdekes állítás eldönthetetlensége. Ez először Jeff Parisnak és Leo Harringtonnak sikerült 1977-ben, akik bebizonyították, hogy a [[Ramsey-tétel]] következő [[Paris–Harrington-tétel|általánosítása]] bizonyítható ZFC-ben de eldönthetetlen a [[Peano-aritmetika|Peano-axiómarendszerben]]:

 

 

Egy másik állítás, ami megfogalmazható, de nem bizonyítható a Peano-axiómarendszerben [[Goodstein tétele]], ahogy azt Laurence Kirby és Jeff Paris igazolta.

 

 

* [[Raymond Smullyan]]: ''Gödel nemteljességi tételei'' (Typotex, [[1999]])

 

* [http://www.csc.liv.ac.uk/~andrey/ph/index.html A simple proof of a version of the Paris-Harrington Theorem]

 

 

[[en:Gödel's incompleteness theorems]]

[[bg:Теорема на Гьодел за непълнота]]

[[ca:Teorema d'incompletesa de Gödel]]