„Párhuzamosság” változatai közötti eltérés

párhuzamos nyaláb, távolságvonal
(Tulajdonságai: párhuzamossági axióma)
(párhuzamos nyaláb, távolságvonal)
Az [[euklideszi geometria|euklideszi geometriában]] két egyenes '''párhuzamos''', ha egysíkúak, és nem metszik egymást. Emellett az egyeneseket párhuzamosnak tekintik önmagukkal, hogy a párhuzamosság [[ekvivalenciareláció]] legyen. A [[hiperbolikus geometria|hiperbolikus geometriában]] irányított egyenesek párhuzamosságáról beszélnek. Azok az irányított egyenesek párhuzamosak, amelyek elválasztják a metsző és a nem metsző irányított egyeneseket. A szóhasználat nem egységes. Ezeket az egyeneseket hívják elpattanónak, vagy az összes nem metszőt párhuzamosnak.
 
Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez [[affin geometria|affin]] szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a [[projektív geometria|projektív geometriához]] jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok.
Az euklideszi és az affin síkgeometriában teljesül:
 
'''Adott egyeneshez adott ponton át egy, az adott egyenest (közönséges pontban) nem metsző egyenes húzható.'''
 
Ez a kijelentés az euklideszi geometria [[párhuzamossági axióma|párhuzamossági axiómája]], ami szükséges az euklideszi geometria felépítéséhez. Elhagyásával az [[abszolút geometria|abszolút geometriát]] kapjuk, ami az euklideszi és a hiperbolikus geometria közös általánosítása. A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus axióma helyettesíti:
 
'''Adott egyeneshez adott ponton át végtelen soktöbb, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható.'''
 
Az analitikus geometriában az euklideszi párhuzamossági axióma bizonyítható. Tehát ez a geometria az euklideszi geometriát modellezi.
 
Tetszőleges dimenziós euklideszi, affin és hiperbolikus terekben az egyenesek párhuzamossága ekvivalenciareláció. Ennek osztályai a párhuzamos nyalábok, amelyek speciális sugársorok.
 
Tetszőleges dimenziójú euklideszi geometriában bármely párhuzamos egyenespár távolsága állandó, azaz akárhol metsszük el őket egy rájuk merőleges egyenessel, a párhuzamos egyenespár mindig ugyanolyan hosszú szakaszt metsz ki belőle. A hiperbolikus geometriákban ez csak akkor igaz, ha a két egyenes egybeesik.
 
[[Kategória:Geometria]]