„Párhuzamosság” változatai közötti eltérés

→‎Tulajdonságai: Párhuzamosok távolsága
(→‎Tulajdonságai: euklideszi síkgeometria)
(→‎Tulajdonságai: Párhuzamosok távolsága)
 
Az euklideszi síkgeometriában két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha az egyik minden pontja azonos távolságra van a másik egyenestől. Egy másik ekvivalens tulajdonság, hogy nem metszik egymást. Egy harmadik ekvivalens tulajdonság szerint, ha egy mindkettőt metsző egyenessel metsszük őket, akkor mindkettő mellett ugyanakkora szögek keletkeznek. Mindezek az ekvivalens tulajdonságok különböző szerkesztési módszerekhez vezetnek.
===Párhuzamosok távolsága===
Legyen a két nem függőleges párhuzamos egyenlete
:<math>y = mx+b_1\,</math>
:<math>y = mx+b_2\,,</math>
ekkor a pontok koordinátái ennek az egyenletrendszernek a megoldásával nyerhetők:
:<math>\begin{cases}
y = mx+b_1 \\
y = -x/m
\end{cases}</math>
és
:<math>\begin{cases}
y = mx+b_2 \\
y = -x/m
\end{cases}</math>
A rendszer megoldásaként a
:<math>\left( x_1,y_1 \right)\ = \left( \frac{-b_1m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1} \right)\,</math>
és a
:<math>\left( x_2,y_2 \right)\ = \left( \frac{-b_2m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1} \right).\,</math>
pontok adódnak. Távolságuk:
:<math>d = \sqrt{\left(\frac{b_1m-b_2m}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)^2}\,,</math>
egyszerűbb alakban
:<math>d = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}\,.</math>
Ha az egyenesek egyenlete
:<math>ax+by+c_1=0\,</math>
:<math>ax+by+c_2=0,\,</math>
akkor távolságuk
:<math>d = \frac{|c_2-c_1|}{\sqrt {a^2+b^2}}.</math>
 
==Általánosítása vektorterekben==