„Matematikafilozófia” változatai közötti eltérés

a
életrehívott -> életre hívott (OH 639.)
a (életrehívott -> életre hívott (OH 639.))
A második tétel sokkal súlyosabb következményekkel jár. Tegyük fel, hogy a ''T'' formális-axiomatikus elmélet ellentmondásmenteségét szándékozunk bizonyítani. Ezt a bizonyítást a szintén formális-axiomatikus ''T ' '' (meta)elméletben tesszük meg. Legyen ennek a ''Cons(T)'': 'T ellentmondásmentes' mondat bizonyításának formalizált változata a ''T ' ''-beli ''p'' lépéssorozat. Ha a ''p'' bizonyítás elvégzéséhez szükséges elméleti háttér azonos erősségű a ''T'' elmélettel, azaz ''p'' lefordítható ''T'' nyelvére, akkor ''T''-ben megfogalmazható és bizonyítható lesz ''Cons(T)'' fordítása. Márpedig Gödel második nemteljességi tétele azt állítja, hogy nem létezik, ''Cons(T)''-nek bizonyítása, így ''p'' fordítása sem lehet az, ami ellentmondás. De az aritmetikát minden megalapozási célra szánt matematikai elméletnek tartalmaznia kell, így ellentmondásmentességének bizonyítását eszerint nem lehet semmilyen azonos erősségű metaelmélet alapján bebizonyítani. Speciálisan: az aritmetika ellentmondásmentességét nem lehet aritmetikai eszközökkel bizonyítani – ahogy azt Hilbert szándékozott volna. (Megjegyezzük, hogy az aritmetika ellentmondásmentességére transzfinit bizonyítást azonban már talált Gerhard Gentzen 1936-ban.)
 
A Gödel-tételek eredményeként a matematika alapjai kérdésköre kikerült a matematikafilozófia centrális problémái közül. A tételek zavarbaejtő volta miatt nehéz bármit állítani arról, hogy milyen ellentmondásmentes formális elmélet felel meg a teljes matematikának. A Hilbert által életrehívottéletre hívott [[metamatematika]], mely a formális matematikai elméletek elmélete lenne matematikai eredményeit illetően beleolvadt a logikába, illetve filozófiai funkciójától teljesen megfosztva célját vesztette. Úgy tűnik, hogy a metamatikusok lemondtak arról a romantikus álmukról, hogy saját tudományuk filozófiáját minden „bölcsészeti pontatlanságtól mentesen” saját maguk, matematikai módszerekkel alkossák meg. A matematikafilozófiának azonban a russelli hagyományt követő analitikkus filozófiában kitüntetett szerepe van, minthogy szigorú tudományos nyelvezete miatt nyelvfilozófiai eszközökkel hatékonyan vizsgálható.
 
''Az alábbiakban kitérünk a matematikafilozófia „Gödel utáni” főbb irányvonalaira. Ezek történeti előzményei javarészt megtalálhatók [[a matematikafilozófia története]] szócikkben.''
117 228

szerkesztés