„Fibonacci-számok” változatai közötti eltérés

a
a (→‎Binet-formula: TeX->PNG)
a (→‎Binet-formula: TeX->PNG)
azaz
:<math>x^2 = x + 1\,</math><!-- \,: TeX->PNG -->,
ennek a [[másodfokú egyenlet]]nek pedig éppen <math>\phi\,</math> és <math>1-\phi\,</math> a megoldásai.
 
(Valójában ennél több is elmondható: az <math>F_{n+1}/F_n\,</math> törtek éppen a <math>\phi\,</math> lánctörtbe fejtésével kapott közelítő törtek.)
 
Az egyenlet mindkét oldalát <math>x^n</math>-nel beszorozva a
Ez azt jelenti, hogy a <math>n\mapsto\phi^n</math> és a <math>n\mapsto(1-\phi)^n</math> sorozatok (és minden [[lineáris kombináció]]juk) kielégítik a Fibonacci-rekurziót.
 
Az együtthatók megfelelő megválasztásával elérhetjük, hogy a helyes <math>F_0 = 0\,</math> és <math>F_1 = 1\,</math> értékeket kapjuk:
:<math>F_n = {\phi^n \over \sqrt{5}} - {(1-\phi)^n \over \sqrt{5}}</math>
 
321

szerkesztés