„Mellékosztály” változatai közötti eltérés

Ezekből következik, hogy a csoport elemei egy adott részcsoportra nézve mind pontosan egy-egy mellékosztályba tartoznak. Innen ered az ''osztály'' elnevezés.

 

Legyen <math>G=(G,*)</math>

<ref group="megj.">A jobb átláthatóság kedvéért egyszerűen <math>G</math> jelöli magát a csoportot és a halmazt is. Halmazelméleti jelölések használatakor (például <math>\in</math>, <math>\subseteq</math>) a <math>G</math> betű a csoport elemeinek halmazára vonatkozik, csoportelméleti jelöléseknél pedig magát a csoportot jelöli.</ref>,

Ha a <math>*</math> művelet [[kommutatív]], akkor a két fogalom megegyezik, és elég egyszerűen ''mellékosztály''ról beszélni.

 

Egy adott részcsoport ugyanolyan oldali, de különböző elem szerinti mellékosztályai vagy [[diszjunkt]]ak, vagy egyenlők:

:<math>H \leq G \qquad f,g \in G</math>

*Ezzel be lett bizonyítva, hogy ha van közös elem, akkor bármely elem, ami benne van az ''f'' szerinti mellékosztályban, az a ''g'' szerintiben is benne van. A szimmetria miatt fordítva is igaz: bármely elem, ami benne van a ''g'' szerinti mellékosztályban, az az ''f'' szerintiben is benne van. Ez azt jelenti, hogy ha a két halmaz nem diszjunkt, akkor egymásnak kölcsönösen [[részhalmaz]]ai, tehát egyenlők. ''Ezt kellett bizonyítani.''

 

Közös részcsoporthoz tartozó mellékosztályok [[számosság]]a megegyezik a részcsoport rendjével:

:<math>H \leq G,\quad \forall g\in G: \quad |H*g| = |g*H| = |H|</math>

*A bizonyítás ugyanígy működik az ellenkező oldali mellékosztályokra is, tehát az állítás bizonyítása kész.

 

A mellékosztályok fenti tulajdonságainak felhasználásával Lagrange tétele egyszerűen bizonyítható:

 

::<math>|H|\,\,|\,\,|G|</math>

 

<references group="megj." />

 

[[ja:剰余類]]

[[ko:잉여류]]

[[nl:Nevenklasse]]

[[pl:Warstwa (teoria grup)]]