Wikipédia

„Beatty-tétel” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
7. sor:
 
Bizonyítás:
(Tegyük fel:)
b = 1 + c
=> a = 1 + 1/c
=> 0 < c < 1
ÉS
[nc] = k-1.
[(n+1)c] = k
Mivel a, és b is irracionális számok, és reciprokösszegük = 1, ezért "a" NEM lehet egyenlő "b"-vel.
Tegyük fel, hogy a>b. Ezért a>2>b>1. Mivel b értéke kisebb 2nél, ezért [(n+1)b] - [nb] = vagy 1, vagy 2. Ha 2, akkor ... [(n+2)b] - [(n+1)b] = 1.
Vegyük észre az alábbi összefüggést:
k-1 < nc < k < (n+1)c < k + 1 → (mindent elosztunk "c"-vel)
→ (k-1)/c < n < k/c < n+1 < (k+1)/c.
Ami nekünk ebből fontos:
n < k/c < n+1, tehát [k/c] az pontosan egyenlő "n"-nel.
Így [ka] = n + k valóban [nb] = n + k - 1 és [(n+1)b] = n + k + 1 közé esik.▼
 
▲ Így [ka] = n + k valóban [nb] = n + k - 1 és [(n+1)b] = n + k + 1 közé esik.
 
Mivel 0 < c < 1, így nc és (n+1)c legfeljebb egy egészet lép át, ezért [nc] és [(n+1)c] különbsége 0 vagy 1. És mivel k = [nc+1], ezért k minden pozitív valós értéket felvehet.<ref>{{cite journal | author = Beatty, Samuel | title = Problem 3173 | journal =American Mathematical Monthly | volume = 33 | issue = 3 | year = 1926 | pages = 159 | doi = 10.2307/2300153 | last3 = Dunkel | first3 = O. | last4 = Pelletier | first4 = A. | last5 = Irwin | first5 = F. | last6 = Riley | first6 = J. L. | last7 = Fitch | first7 = P. | last8 = Yost | first8 = D. M.|language=angol}}</ref><ref>{{cite journal |title=Solutions to Problem 3173 |author=S. Beatty, A. Ostrowski, J. Hyslop, A. C. Aitken |journal=American Mathematical Monthly |volume=34 |year=1927 |pages=159–160 |doi=10.2307/2298716 |jstor=2298716 |issue=3 |language=angol}}</ref>
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Beatty-tétel”