„Végtelen leszállás” változatai közötti eltérés

A megoldhatatlanság induktív bizonyítása
(kategória)
(A megoldhatatlanság induktív bizonyítása)
 
Másként, az egyenlet megoldáshalmazának is van legkisebb eleme, mivel a megoldáshalmaz a természetes számok halmazának része. Ebből készítünk egy még kisebb megoldást a feladat és a természetes számok tulajdonságainak felhasználásával. Ez ellentmond annak, hogy a legkisebb megoldásból indultunk ki, tehát az egyenlet megoldhatatlan.
==A megoldhatatlanság induktív bizonyítása==
Tegyük fel, hogy egy legkisebb megoldásból tudunk még kisebb megoldást csinálni! Ezen nyugszik a végtelen leszállás alapelve, és amihez konkrét bizonyítás szükséges.
*Az [[teljes indukció|indukció]] megkezdése: A legkisebb megoldás nem lehet a 0, mert akkor lenne a 0-nál kisebb természetes szám. Mivel nincs ilyen szám, ezért ellentmondásra jutottunk.
*Az indukciós feltevés: Feltesszük, hogy már minden ''k'' ≤ ''k''<sub>0</sub>-ra bizonyítva van, hogy nem lehet legkisebb megoldás.
*Az indukciós lépés: Mivel ''k''<sub>0</sub> nem lehet a legkisebb megoldás, ezért annak a ''k'' ≤ ''k''<sub>0</sub> számok között kell lennie. Ez ellentmond az indukciós feltevésnek.
 
Tehát a legkisebb megoldás nem létezik, így semmilyen megoldás nincs, tehát az egyenlet megoldhatatlan.
[[Kategória:Matematikai logika]]