„Végtelen leszállás” változatai közötti eltérés

→‎Példa: a bizonyítás befejezése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(Példa)
(→‎Példa: a bizonyítás befejezése)
 
Az <math>x^2 = 2 y^2 > y^2</math> egyenlőtlenség miatt <math>x>y</math>, tehát <math>y_1:=x-y</math> is természetes szám. Hasonlóan, <math>(2y)^2 > 2\cdot y^2 = x^2</math> miatt <math> 2y>x</math>, és így <math>x_1:=2y-x</math> szintén természetes szám. Emellett még <math> y>x-y= y_1</math> is teljesül.
 
Az <math>x^2=2y^2</math> egyenlet felhasználásával:
<math>x_1^2 = (2y-x)^2 = 4 y^2 - 4 x y + x^2 = 2 y^2 + x^2 - 4x y + x^2 = 2\cdot(y^2-2 x y +x^2) = 2\cdot (x-y)^2 = 2 y_1^2</math>
tehát <math>(x_1,y_1) </math> is megoldása az egyenletnek.
 
Tudjuk, hogy ha az egyenlet megoldható, akkor van olyan megoldás is, amiben ''y'' minimális. Azonban ahogy láttuk, ilyen nincs, mert tetszőleges megoldásból lehet kisebbet készíteni. Eszerint a <math>\sqrt 2</math> racionális volta nem állja meg a helyét, tehát <math>\sqrt 2</math> irracionális.
 
Hasonlóan, ha tetszőleges megoldás helyett a legkisebb megoldásból indulunk ki, akkor a kisebb megoldás létezése megcáfolja annak legkisebb voltát. Érvelhetünk úgy is, hogy minden <math>y_1<y</math>-hoz is készíthető kisebb ''y'', tehát készíthető ''y''-oknak végtelen <math>y>y_1 >y_2 >y_3>\ldots</math> sorozata, ami a természetes számok alulról korlátos volta miatt lehetetlen, tehát ismét ellentmondáshoz jutunk.
 
[[Kategória:Matematikai logika]]