→Példa: √''k'' irracionális, ha nem egész
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a huszadik század számelméletében |
→Példa: √''k'' irracionális, ha nem egész |
||
13. sor:
Tehát a legkisebb megoldás nem létezik, így semmilyen megoldás nincs, tehát az egyenlet megoldhatatlan.
==
<math>\sqrt 2</math> pozitív. Feltesszük indirekt, hogy racionális, tehát vannak olyan <math>x,y</math> természetes számok, hogy <math>\sqrt{2}=\tfrac{x}{y}</math>. Négyzetre emelve kapjuk az <math>x^2 = 2\cdot y^2</math> egyenletet, aminek megoldásai az <math>x,y</math> természetes számok. Állítjuk, hogy egy adott <math>x,y</math> megoldásból készíthető egy <math>x_1, y_1</math> megoldás, ami abban az értelemben kisebb, hogy <math>y_1 < y</math>.
27. sor:
Hasonlóan, ha tetszőleges megoldás helyett a legkisebb megoldásból indulunk ki, akkor a kisebb megoldás létezése megcáfolja annak legkisebb voltát. Érvelhetünk úgy is, hogy minden <math>y_1<y</math>-hoz is készíthető kisebb ''y'', tehát készíthető ''y''-oknak végtelen <math>y>y_1 >y_2 >y_3>\ldots</math> sorozata, ami a természetes számok alulról korlátos volta miatt lehetetlen, tehát ismét ellentmondáshoz jutunk.
=== √''k'' irracionális, ha nem egész===
Legyen ''k'' pozitív egész. Belátjuk, hogy ha √''k'' nem egész, akkor irracionális.
Feltesszük, hogy mégis racionális. Legyen √''k'' = <sup>''m''</sup>/⁄<sub>''n''</sub>, ahol <sup>''m''</sup> és ⁄<sub>''n''</sub> a lehető legkisebb természetes számok. Legyen továbbá ''q'' a legnagyobb egész, ami nem kisebb √''k''-nál.
Ekkor
:<math>\begin{align}
\sqrt k&=\frac mn\\[8pt] &=\frac{m(\sqrt k-q)}{n(\sqrt k-q)}\\[8pt]
&=\frac{m\sqrt k-mq}{n\sqrt k-nq}\\[8pt] &=\frac{nk-mq}{m-nq}
\end{align}</math>
azaz √''k'' kifejezhető kisebb suzámokkal, ami ellentmondás.<ref>{{Citation | last = Sagher | first = Yoram | year = 1988 | month = February | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 95 | page = 117 | title = What Pythagoras could have done}}</ref>
==Források==
* "Das kleine Einmaleins des klaren Denkens: 22 Denkwerkzeuge für ein besseres Leben" von Christian Hesse, Verlag: Beck; Auflage: 2 (14. Mai 2009)
| |||