„Végtelen leszállás” változatai közötti eltérés

→‎Példák: ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = 3(''s''<sup>2</sup> + ''t''<sup>2</sup>)
a (→‎Források: refek megjelenítése)
(→‎Példák: ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = 3(''s''<sup>2</sup> + ''t''<sup>2</sup>))
 
azaz √''k'' kifejezhető kisebb suzámokkal, ami ellentmondás.<ref>{{Citation | last = Sagher | first = Yoram | year = 1988 | month = February | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 95 | page = 117 | title = What Pythagoras could have done}}</ref>
===''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = 3(''s''<sup>2</sup> + ''t''<sup>2</sup>)===
Végtelen leszállással megmutatható, hogy az
 
:<math>a^2+b^2=3 \cdot (s^2+t^2)</math>
 
egyenlet egyetlen megoldása <math>a=b=s=t=0</math> az egész számok halmazán.
 
Tegyük fel, hogy van nem triviális megoldás! Ekkor van nem negatív megoldás is, ugyanis <math>a,b,s,t</math> mindegyike helyettesíthető az abszolútértékével. Ezután elég a nem negatív megoldásokkal foglalkozni.
 
Legyen most <math>a_1, b_1, s_1, t_1</math> egy nem negatív megoldás! Ekkor
 
:<math> 3 \mid a_1^2+b_1^2 \, </math>
 
Ez csak úgy lehet, hogy <math>a_1</math> és <math>b_1</math> is osztjható 3-mal. Legyen
 
 
:<math>3 a_2 = a_1 \text{ and } 3 b_2 = b_1. \, </math>
 
így
 
:<math> (3 a_2)^2 + (3 b_2)^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2) \, </math>
 
és
 
:<math> 3(a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2, \, </math>
 
ami egy új nem negatív ''s''<sub>1</sub>, ''t''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub> megoldást ad. Ezek összege kisebb, mint az eredetié. Ez az eljárás végtelenmszer megismételhető, ami ellentmond annak, hogy a természetes számoknak nincs végtelen hosszú szigorúan monoton csökkenő sorozata.
 
Tehát ennek a diofanmtoszi egyenmletnek nincs nem triviális megoldása.
 
==Jegyzetek==