„Végtelen leszállás” változatai közötti eltérés

→‎r2 + s4 = t4: a héárom eset részletesen
(→‎Példák: ''r''<sup>2</sup> + ''s''<sup>4</sup> = ''t''<sup>4</sup>)
(→‎r2 + s4 = t4: a héárom eset részletesen)
Tegyük fel, hogy kaptunk valahonnan egy ilyen háromszöget! Ekkor a pitagoraszi tulajdonság megtartásával skálázhatjhuk úgy, hogy ne legyenek közös tényezőik. A primitív pitagoraszi háromszögek oldalai írhatók így:
 
:<math>x=2ab,</math> <math>y=a^2-b^2,</math> <math>z=a^2+b^2</math>, ahol ''a'' és ''b'' relatív prímek, és ''a+b'' páratlan, ezért ''y'' és ''z'' is páratlan. Három eset van aszerint, hogy melyik oldalpár lesz négyzet, vagy egy négyzet kétszerese.:
 
*'''''y'' és ''z''''': Mivel ''y'' és ''z''páratlan, ezért nem lehetnek egy négyzet kétszeresei; ha mindkettő négyzet, akkor az <math>\sqrt{yz}</math> és <math>b^2</math> befogójú és <math>a^2</math> átfogójú derékszögű háromszög oldalai szintén egészek lennének úgy, hogy <math>b^2</math> befogó és <math>a^2</math> átfogó, és átfogója kisebb: <math>a^2</math> <math>z=a^2+b^2</math> helyett.
 
*'''''y'' és ''x''''': Ha ''y'' négyzet és ''x'' négyzet vagy egy négyzet kétszerese, akkor ''a'' és ''b'' is négyzet vagy négyzet kétszerese, és az <math>b</math> és <math>\sqrt{y}</math> befogójú és <math>a</math> átfogójú derékszögű háromszög két oldsala, ''b'' és ''a'' négyzet vagy négyzet kétszerese lenne, aminek átfogója rövidebb lenne, mint az eredetié: <math>a</math> <math>z=a^2+b^2</math> helyett.
 
*'''''z'' és ''x''''': Ha ''z'' négyzet és ''x'' négyzet vagy négyzet kétszerese, akkor ''a'' és ''b'' is négyzet vagy négyzet kétszerese, és az <math>a</math> és <math>b</math> befogójú és <math>\sqrt{z}</math> átfogójú derékszögű háromszög két oldala, <math>a</math> ésd <math>b</math> négyzet, vagy négyzet kétszerese, és átfogója rövidebb, mint az eredetié <math>\sqrt{z}</math> {{nowrap|<math>z</math>}} helyett.
 
Bármely ilyen esetben, ahol két oldal vagy mindegyike négyzet, vagy mindegyike egy négyzet kétszerese, kaphatunk egy kisebb megoldást, ami nem mehet a végtelenségig, tehát nem létezhet ilyen háromszög. Innenm következik, hogy <math>r^2 + s^4 =t^4</math> megoldhatatlan, különben ''r'', ''s<sup>2</sup>'' és ''t<sup>2</sup>'' egy ilyen háromszög oldalai lennének.