„Végtelen leszállás” változatai közötti eltérés

a
→‎r2 + s4 = t4: elírás javítása
a (→‎r2 + s4 = t4: elírás javítása)
a (→‎r2 + s4 = t4: elírás javítása)
Nevezetes példa a nagy Fermat-tétel egy speciális esetének bizonyítása. A páratlan prímek mellett elég az ''n'' = 4 speciális esetre belátni a megoldhatatlanságot. Többet bizonyítunk, az <math>q^4 + s^4 =t^4</math> egyenlet helyett az <math>r^2 + s^4 =t^4</math> egyenletet használjuk. Egy újabb bizonyítás egy még általánosabb esettel foglalkozik, hogy nincs olyan pitagoraszi háromszög, aminek befogói egy négyzet és egy négyzet kétszerese.<ref>Dolan, Stan, "Fermat's method of ''descente infinie''", ''[[Mathematical Gazette]]'' 95, July 2011, 269–271.</ref>
 
Tegyük fel, hogy kaptunk valahonnan egy ilyen háromszöget! Ekkor a pitagoraszi tulajdonság megtartásával skálázhatjhukskálázhatjuk úgy, hogy ne legyenek közös tényezőik. A primitív pitagoraszi háromszögek oldalai írhatók így:
 
:<math>x=2ab,</math> <math>y=a^2-b^2,</math> <math>z=a^2+b^2</math>, ahol ''a'' és ''b'' relatív prímek, és ''a+b'' páratlan, ezért ''y'' és ''z'' is páratlan. Három eset van aszerint, hogy melyik oldalpár lesz négyzet, vagy egy négyzet kétszerese:
*'''''y'' és ''z''''': Mivel ''y'' és ''z'' páratlan, ezért nem lehetnek egy négyzet kétszeresei; ha mindkettő négyzet, akkor az <math>\sqrt{yz}</math> és <math>b^2</math> befogójú és <math>a^2</math> átfogójú derékszögű háromszög oldalai szintén egészek lennének úgy, hogy <math>b^2</math> befogó és <math>a^2</math> átfogó, és átfogója kisebb: <math>a^2</math> <math>z=a^2+b^2</math> helyett.
 
*'''''y'' és ''x''''': Ha ''y'' négyzet és ''x'' négyzet vagy egy négyzet kétszerese, akkor ''a'' és ''b'' is négyzet vagy négyzet kétszerese, és az <math>b</math> és <math>\sqrt{y}</math> befogójú és <math>a</math> átfogójú derékszögű háromszög két oldsalaoldala, ''b'' és ''a'' négyzet vagy négyzet kétszerese lenne, aminek átfogója rövidebb lenne, mint az eredetié: <math>a</math> <math>z=a^2+b^2</math> helyett.
 
*'''''z'' és ''x''''': Ha ''z'' négyzet és ''x'' négyzet vagy négyzet kétszerese, akkor ''a'' és ''b'' is négyzet vagy négyzet kétszerese, és az <math>a</math> és <math>b</math> befogójú és <math>\sqrt{z}</math> átfogójú derékszögű háromszög két oldala, <math>a</math> ésd <math>b</math> négyzet, vagy négyzet kétszerese, és átfogója rövidebb, mint az eredetié <math>\sqrt{z}</math> {{nowrap|<math>z</math>}} helyett.