„Átmérő (geometria)” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
aNincs szerkesztési összefoglaló
általánosítások
1. sor:
{{építés alatt}}
 
A [[geometria|geometriában]] a átmérőnek neveziknevezzük az olyan [[szakasz (geometria)|szakasz]]t, amely áthalad egy [[kör]] középpontján és amelynek végpontjai a körvonalon vannak.<ref name="elemek">{{cite web|url=http://mek.oszk.hu/00800/00857/html/ikonyv.htm#I_D_17|title=[[Elemek]]|last=[[Eukleidész (matematikus)|Eukleidész]]|work=Első könyv|language=magyar|accessdate=2012-12-04}}</ref> Tekintve, hogy egy kör valamennyi átmérője egyenlő hosszú, gyakran az átmérők közös [[hosszúság]]át is egyszerűen a kör átmérőjének neveziknevezzük. Az átmérő fogalmának számos általánosítása van a geometriában, a metrikus terek elméletében, a gráfelméletben, a műszaki tudományokban és a csillagászatban. Az átmérő jele hagyományosan a kis latin ''d'' betű, de a műszaki használatban gyakori a ⌀ szimbólum is.
 
== Az átmérő tulajdonságai ==
A kör átmérője kétszerese a kör sugarának. Az átmérő a kör szimmetriatengelyén fekszik, és így két egybevágó részre osztja a kört. Az átmérő egyben húrja[[húr (geometria)|húr]]ja is a körnek.
 
Nevezetes tény az, hogy a kör kerületének és átmérőjének aránya egy, a konkrét körtől független állandó. Ennek az állandónak a jele hagyományosan <math>\pi</math> (kimondva pi). A [[Pi (szám)|pi szám]] jelentős szerepet játszik a matematika számos ágában.
 
[[Fájl:Thales Tetel.png|bélyegkép|120px|balra|A Thalész-tétel szerint γ derékszög.]]
Az átmérővel kapcsolatos nevezetes tétel a [[Thalész-tétel]], amely szerint a az átmérő két végpontja a körvonal tetszőleges harmadik pontjával derékszögű háromszöget alkot. Az átmérők merőlegesek a végpontjaikon átfutó érintőkre.
 
Az átmérőnek az általánosítások szempontjából kiemelkedően fontos tulajdonsága, hogy egyben a körvonal pontpárjai közötti maximális távolság is. Más fogalmazásban az átmérőszakasz maximális hosszúságú a [[húr (geometria)|húrok]] közül. Csak az átmérők bírnak ezzel a tulajdonsággal, amely így akár az átmérő definíciójául is szolgálhatna.
 
== Az átmérőfogalom általánosításai ==
=== A geometriában ===
A kör átmérőjének analógiájára az [[ellipszis (geometria)]] átmérőjének nevezzük az olyan szakaszt, amely áthalad a kúpszelet középpontán, végpontjai pedig az ellipszisvonalon vannak. Az ellipszis átmérői általában már nem egyforma hosszúságúak; közülük a legrövidebbet kistengelynek, a leghosszabbat pedig nagytengelynek hívjuk. Az ellipszist a kör [[affin transzformáció|affin]] képének felfogva a kör átmérőjének képe az ellipszis átmérője.
 
Kézenfekvő az átmérőfogalom általánosítása a [[gömb]]ök esetére: a középponton áthaladó, a gömbfelület pontjait összekötő szakaszokat nevezzük a gömb átmérőjének. A gömb átmérője egyben a végpontjain áthaladó [[főkör]]ök átmérője is. A köréhez hasonlóan a gömb átmérői is valamennyien egyenlő hosszúak, így ebben az esetben is szokás ezt a közös hosszúságot a gömb átmérőjének nevezni.
 
Hasonló módon definiáljuk a háromnál magasabb dimenziós hipergömbök átmérőjét is.
 
=== Metrikus terekben ===
Egy metrikus tér ''H'' részhalmazának átmérőjét a ''H'' pontpárjai közti távolságok szuprémumaként definiáljuk. Korlátos halmazok esetében ez egy valós szám; ellenkező esetben a halmaz átmérője végtelen. Az üres halmaz átmérője 0. Ez az átmérő-definíció általánosítja a kör átmérőjének azt a tulajdonságát, hogy maximális hosszúságú a húrok között.
 
Az átmérőnek az általánosítások szempontjából kiemelkedően fontos tulajdonsága, hogy egyben a körvonal pontpárjai közötti maximális távolság is. Más fogalmazásban az átmérőszakasz maximális hosszúságú a [[húr (geometria)|húrok]] közül. Csak az átmérők bírnak ezzel a tulajdonsággal, amely így akár az átmérő definíciójául is szolgálhatna.
 
== Források ==