„Tridiagonális mátrix” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a (r2.7.2) (Bot: következő hozzáadása: de, eo, eu, fr, hi, it, ru, sl, sv, zh)
 
A matematika [[lineáris algebra]] nevű ágában '''tridiagonális mátrix''' a neve az olyan mátrixnak, amelyben csak a főátlón és a mellette található két átló mentén vannak nullától különböző elemek.
 
Például, a következő mátrix tridiagonális:
:<math>\begin{pmatrix}
1 & 4 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}.</math>
 
== Tulajdonságok ==
A tridiagonális mátrix voltaképpen egy felső és alsó [[Hessenberg mátrix]].<ref>{{cite book|first1=Roger A.| last1=Horn | first2=Charles R. | last2=Johnson | title = Matrix Analysis | publisher= Cambridge University Press |year= 1985 |isbn = 0521386322 | page=28}}</ref>
 
=== Determináns ===
Egy n [[dimenzió]]s T mátrix determinánsát
 
::<math>f_n = \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & a_2 & b_2 \\
& c_2 & \ddots & \ddots \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_n
\end{vmatrix}</math>
a következő rekurzív képlet segítségével lehet kiszámítani:
::<math>f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}</math>
ahol ''f''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1 és ''f''<sub>-1</sub>&nbsp;=&nbsp;0.
 
=== Inverz ===
 
Egy adott T, ''nem szinguláris'' mátrix
 
::<math>T = \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & a_2 & b_2 \\
& c_2 & \ddots & \ddots \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_n
\end{pmatrix}</math>
 
inverzét a következő képpen lehet kiszámolni:
::<math>(T^{-1})_{ij} = \begin{cases}
(-1)^{i+j}b_i \cdots b_{j-1} \theta_{i-1} \phi_{j+1}/\theta_n & \text{ ha } i \leq j\\
(-1)^{i+j}c_j \cdots c_{i-1} \theta_{j-1} \phi_{i+1}/\theta_n & \text{ ha } i > j\\
\end{cases}</math>
ahol ''θ''<sub>''i''</sub> teljesíti az alábbi [[Rekurzív sorozat|rekurzív]] feltételt:
::<math>\theta_i = a_i \theta_{i-1} - b_{i-1}c_{i-1}\theta_{i-2} \quad \text{ , } i=2,3,\ldots,n</math>
''θ''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1, ''θ''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;''a''<sub>1</sub> kezdőállapottal. ''ϕ''<sub>''i''</sub> pedig teljesíti a
::<math>\phi_i = a_i \phi_{i+1} - b_i c_i \phi_{i+2} \quad \text{ , } i=n-1,\ldots,1</math>
feltételt ''ϕ''<sub>''n''+1</sub>&nbsp;=&nbsp;1 és ''ϕ''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''a''<sub>''n''</sub> kezdőállapottal.<ref>{{cite doi|10.1016/j.cam.2005.08.047}}</ref><ref>{{cite doi|10.1016/0024-3795(94)90414-6}}</ref>
 
== Források ==
<references />
 
[[Kategória:Lineáris algebra]]