„Kontinuumhipotézis” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→A feladat és megoldása: gépelési hiba javítása |
|||
10. sor:
Tehát végtelen halmazból nem egyféle van, mert egy végtelen halmaz hatványhalmaza „végtelenebb”, vagy magasabb rendűen végtelen, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy nem feleltethető meg a két halmaz egymásnak úgy, hogy az egyik halmaz egy elemét a másik halmaz pontosan egy eleméhez rendeljük és fordítva. A legegyszerűbb végtelen halmaz a természetes számok '''N''' halmaza. Cantor azt is bebizonyította, hogy a valós számok '''R''' halmaza ennél magasabbrendűen végtelen (belátható ugyanis, hogy '''R'''-ben ugyanannyi elem van, mint ''P''('''N''')-ben, azaz '''N''' hatványhalmazában). Minthogy a végtelen halmazok jellegzetes (karakterisztikus) tulajdonsága, hogy azonos számosságú egy valódi részhalmazával, felvethető a kérdés, hogy '''R'''-ben saját magával és '''N'''-nel azonos számosságú részhalmazain kívül van-e más végtelen számosságú részhalmaz.
A kontinuumhipotézist Hilbert olyan súlyú kérdésnek ítélte, hogy nevezetes problémái közül az első helyen említette ([[Hilbert-problémák]]). A megoldást [[Kurt Gödel]] és [[Paul Cohen]] szolgáltatta, de nem várt eredményre jutottak. Gödel [[1940]]-ben (a Gödel-féle [[konstruálható halmazok]]
hogy nem bizonyítható a [[Zermelo–Fraenkel axiómarendszer]]ben. A kettő együtt azt jelenti, hogy az állítás konzisztens és független, vagyis az állítás hozzávétele sem okoz ellentmondást, és a tagadás hozzávétele sem. Ezzel Hilbert 1. problémája megválaszolásra került.
| |||