„Nyílt halmaz” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
kategória |
kép |
||
1. sor:
[[Image:red blue circle.svg|right|thumb|Az {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = ''r''<sup>2</sup>}} egyenletet megoldó (''x'', ''y'') pontok kékkel, az {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> < ''r''<sup>2</sup>}} egyenlőtlenséget teljesítő (''x'', ''y'') pontok narancssárgával színezve. A narancssárga pontok nyílt halmazt alkotnak, aminek határát a kék pontok halmaza alkotja. A kék pontok halmaza határhalmaz. A narancssárga és a kék pontok uniója [[zárt halmaz]].]]
A [[topológia|topológiában]] egy halmaz akkor '''nyílt''', ha nem tartalmazza egy határpontját sem, vagyis megegyezik a belső pontjainak halmazával. Metrikus terekben a nyílt halmazok pontosan azok, amelyek minden pontjához van olyan ε, hogy amely pontok ennél közelebb vannak, azok is a halmazhoz tartoznak. [[Topologikus tér|Topologikus terekben]] ezt környezetekkel fogalmazzák át: egy halmaz nyílt, ha minden pontjának egy környezetét is tartalmazza.
A topologikus terekben a nyílt halmazokat használják ahhoz, hogy kifejezzék a pontok közelségét. Ezt használják például a [[folytonos függvény]]ek definíciójának átviteléhez. A topologikus terek szerkezetét az határozza meg, hogy mely halmazok nyíltak bennük. A nyílt halmazok rendszerét ismét topológiának hívják. Ezek a matematika kapcsolódó területein is szervező erővel bírnak, például a [[Zariski-topológia]] az [[algebrai geometria|algebrai geometriában]], ami a [[varietás]]ok topológiai szemléletét tükrözi, vagy a differenciáltopológia differenciálható sokaságai, ahol minden ponthoz van őt tartalmazó nyílt halmaz, amely [[homeomorfia|homeomorf]] egy euklideszi nyílt gömbbel.
| |||