„Cauchy-sorozat” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Fölösleges záró tag |
|||
27. sor:
<math>|x_n-x_m|=\left|\sum_{j=m+1}^n\frac{\cos(j)}{j^2}\right|\leq \sum_{j=m+1}^n\frac{|\cos(j)|}{j^2}\leq \sum_{j=m+1}^n\frac{1}{j^2} <\sum_{j=m+1}^n\frac{1}{j(j-1)}=\sum_{j=m+1}^n \left( \frac{1}{j-1}-\frac{1}{j}\right)=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\iff m>\frac{1}{\varepsilon}.</math><br /><br />
Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {x<sub>n</sub>} valójában nem más, mint a <math>\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\cos(j)}{j^2}</math> sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.
==Definíció metrikus terekre==
| |||