„Szakadás (matematika)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
1. sor:
A [[matematikai analízis]]ben egy [[Függvény (matematika)|függvény]] '''szakadási pontjának''' nevezünk egy ''u'' számot, ha ''u'' benne van az értelmezési tartomány lezártjában, de ''u''-ban a függvény nem folytonos, vagy nincs értelmezve. A szakadások osztályozhatók aszerint, hogy a szakadási pontban a függvénynek végesek
== A fogalom és definíciója ==
A jelentősnek tekinthető analízis tankönyvek egy része kifejezetten hangsúlyozza, hogy szakadás csak az értelmezési tartomány pontjaiban vizsgálható, más jelentős tankönyvek, cikkek azonban az értelmezési tartományhoz közeli úgy nevezett [[torlódási pont]]okban is vizsgálják a szakadási jelenségeket. Ez sokszor félreértéseket okozhat, hisz folytonos függvények esetén is szó eshet szakadásról. Például bármely az (''a'',''b'') korlátos és nyílt intervallumon értelmezett konstans függvény folytonos, de mégis beszélnek arról, hogy a határpontokban megszüntethető szakadása van, azaz kiterjeszthető
Éppen ezért a szakadás fogalmát érdemes külön kezelni a folytonosság fogalmától és nem csak mint nemfolytonosságot kezelni, hanem önálló témaként gondolni rá. Ezt annál is inkább érdemes tenni, minthogy a szakadások osztályozása nem a folytonossággal hanem a határértékkel kapcsolatos.
18. sor:
== A szakadási helyek osztályozása ==
A szakadások osztályozásánál megvizsgáljuk a szakadási pontban a bal és jobb oldali határértéket. A bal oldali határérték fogalmának szerepeltetésénél elengedhetetlen, hogy az adott pont bal oldali torlódási pont legyen, azaz a pont minden bal oldali kipontozott
'''Definíció.''' Legyen ''f'': ''D'' <math>\to</math> '''R''' a valós számok egy ''D'' részhalmazán értelmezett valós függvény és legyen ''u'' az ''f'' ''szakadási pontja''.
35. sor:
== Komplex függvények szakadásainak osztályozása ==
:''Lásd még: [[izolált szingularitás]]''
Komplex függvények szakadása ugyanígy értelmezendő: a függvény vagy értelmezett, de nem folytonos, vagy nem értelmezett egy torlódási pontban. Ha emellett még az is igaz, hogy a szakadási pontnak van olyan
* megszüntethető szakadás, ha az f(<math>z_0</math>) = lim<sub><math>z_0</math></sub> f definícióval folytonossá tehető (ekkor persze regulárissá is),
* n-ed rendű pólus, ha lim<sub><math>z_0</math></sub> f = ∞, de az lim<sub><math>z_0</math></sub> f(z) <math>\cdot</math> (z-<math>z_0</math>)<sup>n</sup> már véges
| |||