Wikipédia

„Mátrix (matematika)” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
→‎Végtelen dimenziós terek: nem korlátos lineáris operátorok
428. sor:
 
===Végtelen dimenziós terek===
Végtelen dimenziós terekben is teljesül, hogy tetszőleges <math>f\colon U\to V</math>, lineáris leképezést meghatározzák egy tetszőleges ''u'' bázis <math>f(u)</math> képvektorai. Ebben az esetben azonban megszokottabb a lineáris operátor elnevezés. Amennyiben korlátos, kiterjeszthető egész <math>U</math>-ra, különben csak egy sűrű altérre lehet kiterjeszteni. Ha most <math>\mathcal{B}_V</math> bázis <math>V</math>-ben, akkor <math>f(u)</math> egyértelműen előáll <math>\mathcal{B}_V</math> elemeinek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók közül véges sok nullától különböző testelem van, így:
<math>f(u)=\sum_{b\in\mathcal{B}_V}f(u)_b b</math>
Test helyett vehető [[ferdetest]] is. Így minden korlátos lineáris leképezésoperátor felfogható végtelenszer végtelen mátrixként, ami extrém [[ritka mátrix|ritka]], ugyanis a végtelen sok eleme között csak véges sok különbözik nullától. A lineáris transzformációk szorzása ismét megfelel a mátrixszorzásnak.
 
A nem korlátos lineáris operátorok nem folytonosak, és legfeljebb egy sűrű altérre terjeszthetők ki. Ilyenek például függvénytereken a differenciáloperátorok. Jellemzésükben fontos szerephez jut az értelmezési tartomány. Sok tulajdonságot csak sűrűn definált operátorokra tudunk bizonyítani.<ref>www.cs.elte.hu/~karatson/nfa.pdf</ref>
 
A [[funkcionálanalízis]]ben [[topologikus vektortér|topologikus vektortereket]] vizsgálnak, így lehet beszélni [[határérték]]ről, és képezhetők végtelen [[sorozat (matematika)|sorozat]]ok összegei is. Így vizsgálhatók olyan végtelen mátrixok is, amelyek végtelen sok nullától különböző értéket tartalmaznak, és akár egész sorok és oszlopok is teltek lehetnek. Itt bázison is valami mást értenek.
 
Ennek egy speciális alesetét alkotják a [[Hilbert-tér|Hilbert-terek]]. Legyenek <math>U, V</math> Hilbert-terek, és <math>(u_i)_{i\in I}, (v_i)_{i\in I}</math> rendre ''U'' és ''V'' ortonormált bázisa. Ekkor a <math>f\colon U\to V</math> lineáris transzformációoperátor, ahol a mátrix elemei a
:<math>f_{i,k} :=\langle u_i, f u_k\rangle</math>
testelemek, és ahol <math>\langle u,v\rangle </math> a Hilbert-tér skalárszorzata.
Sűrűn definiált lineáris leképezésekoperátorok is hasonlóan ábrázolhatók, amennyiben az értelmezési tartománynak van ortonormált bázisa.
 
A [[Hilbert‑Schmidt-skalárszorzat]] csak a lineáris leképezések egy részére definiálható. Ezek a Hilbert‑Schmidt-operátorok, amelyekre a definiáló sor folytonosan [[konvergencia (matematika)|konvergens]].
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Mátrix_(matematika)”