|
[[Kép:Integral as region under curve.svg|bélyegkép|jobbra|Az integrál mint a függvénygörbe alatti terület]]
A [[matematikai analízis]]ben az [[differenciálhatóság|érintőprobléma]] mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészlés).
Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az ''x'' tengely, valamint az ''x = a'' és az ''x = b'' egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével ''definiálható'' az említett görbével határolt terület nagysága.
[[folytonos függvény|Folytonos]] függvények integráljára először [[Cauchy]] adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. [[Riemann]] kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.
==Riemann-integrál definíciója==
===Riemann definíciója===
Az integrál jellemzői az integrálandó ''f(x)'' függvény és az ''[a,b]'' intervallum, amin integrálunk. Az ''a''-t az ''integrál alsó határának'', a ''b''-t az ''integrál felső határának'' nevezzük.
[[Kép:riemann1.png|bélyegkép|jobbra|Integrálható (azon belül folytonos) függvény.]]
Osszuk fel az intervallumot ''n'' részre valamilyen <math> F_n = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \} </math> halmazzal, ahol <math>a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b</math>. Ezt az ''F''<sub>''n''</sub> halmazt az ''[a,b]'' intervallum egy ''felosztásának'' nevezzük. A felosztás ''finomságának'' nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: <math>d(F_n)</math>
[[Kép:riemann2.png|bélyegkép|jobbra|Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása]]
Mindegyik [''x''<sub>''i-1''</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>] részintervallumból (1 ≤ ''i'' ≤ ''n'') válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ<sub>''i''</sub> elemet.
Állítsunk f(ξ<sub>''i''</sub>) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit ''közelítő összeg''nek nevezünk:
:<math>\sigma(F_n) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})</math>
Ezt a <math>\Delta x_i=(x_i-x_{i-1})</math> jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:
:<math>\sigma(F_n) =\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n </math>
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: <math>\{F_n\} = F_1, F_2, F_3, F_4, \ldots </math>. Ezeket nevezzük ''felosztássorozatoknak''. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a <math> \{d(F_n)\} = d(F_1), d(F_2), \ldots </math> sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot ''normális felosztássorozatnak'' vagy ''minden határon túl finomodó felosztássorozatnak'' nevezzük.
[[Kép:riemann.gif|bélyegkép|jobbra|Normális felosztássorozat első tagjai]]
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ''Riemann-integrálható'' az [''a'',''b''] intervallumon, és a határértékét a függvény ''Riemann-integrál''jának nevezzük. Jele: <math>\int \limits _a^b f(x) \, dx</math> vagy röviden: <math> \int \limits _a^b f</math>.
:<math>d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int \limits _a^b f</math>
Összefoglalva:
:<math>\int \limits _{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_i - x_{i-1})</math>
:ahol
:: <math> a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b</math>
:: <math>x_{i-1} \le \xi_i \le x_i </math>
:: <math>\lim_{n\to \infty} \max \left\{ x_i - x_{i-1} | 1 \le i \le n \right\}=0 </math>
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
===Jellemzés a Darboux-integrálokkal===
Ha a <math> \sigma_n </math> összegben az <math> f(\xi_i) </math> helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a '' (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez'' jutunk: <math> S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})} </math>, ahol <math> M_i </math> a függvény felső határa (supremuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
Hasonló a ''(Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math> s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, </math> ahol <math> m_i </math> az függvény alsó határa (infimuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon.
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait.
Az alsó integrálközelítőösszegek [[szuprémum|szuprémuma]] az alsó Darboux-integrál:
:<math>\underline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1}})</math>,
és a felső integrálközelítőösszegek infimuma az alsó Darboux-integrál:
:<math>\overline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}})</math>.
Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.
==A Riemann-integrál tulajdonságai==
===Kapcsolata a folytonossággal===
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és
:<math>F(t)=\int_a^t f(x)\,dx</math>,
akkor <math>F</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n.
===[[Lineáris leképezés|Linearitás]]===
Ha <math>f, g</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon Riemann-integrálható függvények, <math>c</math> valós konstans, akkor <math>f\pm g</math> és <math>cf</math> is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:
:<math>\int_a^b f(x) \pm g(x) \,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx</math>
:<math>\int_a^b c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_a^b f(x)\,dx</math>
===Az integrációs határok felcserélése===
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> intervallumon, akkor
:<math>\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx</math>
===Az integrációs intervallum felbonthatósága===
Legyen <math>a<b<c</math>. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,c]</math> intervallumon, akkor Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> és <math>[b,c]</math> intervallumokon is, valamint:
:<math>\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx+\int_c^a f(x)\,dx=0</math>
===Háromszög-egyenlőtlenség===
Ha <math>f</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor <math>|f|</math> is az, és teljesül a következő:
:<math>\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq\int_a^b\left|f(x)\right|\,dx</math>
===[[Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség|Schwarz-egyenlőtlenség]]===
Ha <math>f,g</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:
:<math>\left|\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right|\leq\sqrt{\int_a^bf^2(x)\,dx}\sqrt{\int_a^bg^2(x)\,dx}</math>
===Newton-Leibniz formula===
A határozott integrál és a [[Határozatlan integrál|primitív függvény]] kapcsolatát tárja fel a [[Isaac Barrow]] által felfedezett [[Newton-Leibniz-tétel|Newton-Leibniz formula]]:
Ha <math>[a,b]</math>-n <math>F'=f</math>, akkor
:<math>\int_a^b f(x)dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)</math>
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és <math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt</math> (azaz <math>F</math> határozatlan intgrálja f-nek), akkor <math>F'(x)=f(x)</math>, az intervallum minden <math>x</math> pontjára.
===Parciális integrálás===
A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:
:<math>\int_a^b f(x) \cdot g'(x)\,dx = \Big[f(x) \cdot g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f'(x) \cdot g(x) \,dx </math>
===Helyettesítéses integrálás===
Legyen <math>x=\varphi(t)</math>, ahol <math>\varphi</math> folytonosan differenciálható, és <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math> <math>\varphi</math> általi képén. Ekkor
:<math>\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,dx=\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt</math>
== A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma ==
Egy <math>[a,b]</math> intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és <math>[a,b]</math> majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint [[Lebesgue-mérték|nullmértékű]]).
== Egyéb integrálok ==
Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:
* [[Banach-integrál]]
* [[Burkill-integrál]]
* [[Daniell-integrál]]
* [[Darboux-integrál]], a Riemann-integrál egy variációja
* [[Denjoy-integrál]], a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
* [[Dirichlet-integrál]]
* [[Euler-integrál]]
* [[Fejér-integrál]]
* [[Haar-integrál]]
* [[Henstock-Kurzweil-integrál]], a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
* [[Henstock-Kurzweil-Stieltjes integrál]] (HK-Stieltjes-integrál néven is)
* [[Itô-integrál]]
* [[Itô-Stieltjes-integrál]]
* [[Lebesgue-integrál]]
* [[Lebesgue-Stieltjes-integrál]] (Lebesgue-Radon-integrál néven is)
* [[mérték szerinti integrál]], az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
* [[Perron-integrál]], ami ekvivalens a tiltott [[Denjoy-integrál]]lal
* [[Poisson-integrál]]
* [[Radon-integrál]]
* [[Stieltjes-integrál]], a Riemann-integrál kiterjesztése ([[Riemann-Stieltjes-integrál]]nak is nevezik)
* [[sztochasztikus integrál]]
* [[Wiener-integrál]]
* [[Young-féle integrál]]
== Külső hivatkozások ==
* [http://nagysandor.eu/harrisonia/Integrals_HU.html Magyarított Flash animáció a Riemann-integrál szemléltetéséről általában plusz egy konkrét függvénnyel]. Szerző: David M. Harrison
== Források ==
* Durszt E. ([[1995]]): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
* Imreh Cs. ([[1997]]): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
* [[Leindler László|Leindler L.]] ([[1995]]): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
* Medvegyev P. ([[2004]]): Szochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
* Mikolás M. ([[1978]]): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
{{DEFAULTSORT:Riemannintegral}}
[[Kategória:Valós analízis]]
| 