„Catalan-sejtés” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a (saját hiba jav)
A '''Catalan-sejtés''' vagy '''Mihăilescu-tétel''' a [[számelmélet]] egyszerűen megfogalmazható tétele, amelyet a belga [[Eugène Charles Catalan]] fogalmazott meg 1844-ben. A tétel szerint a 8= 2³ és 9 = 3² az egyetlen példa közvetlen egymásutáni [[teljes hatvány]]okra.
 
Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az
1976-ban Robert Tijdeman a [[transzcendenciaelmélet]] [[Baker-módszer]]ét alkalmazta, és korlátokat adott ''a''-ra és ''b''-re, továbbá felülről becsülte mind a négy számot ''a'' és ''b'' függvényével és az addig ismert korlátok felhasználásával. A korlátra exp exp exp exp 730 adódott.<!--Tudja valaki, hogy ez milyen nagy szám?--><ref>{{cite book | title=13 Lectures on Fermat's Last Theorem | first=Paulo | last=Ribenboim | authorlink=Paulo Ribenboim | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1979 | isbn=0-387-90432-8 | zbl=0456.10006 | page=236 }}</ref> Ezzel véges, de nagy számú kivétellel megoldotta a Catalan-sejtést. A korlát kezelhetetlenül nagy, és a bizonyítás befejezése túl sok erőforrást igényelne.
 
Preda Mihăilescu 2002-ben befejezte a bizonyítást, és a Journal für die reine und angewandte Mathematik folyóiratban, 2004-ben publikálta. Nem a régebbi ötletet vitte tovább, hanem [[körosztási test]]eket és [[Galois-modulus]]okat használt. Yuri Bilu a Bourbaki-szemináriumon mutatta be a bizonyítást.
==Pillai-sejtés==
A Pillai-sejtés a teljes hatványok különbségeivel foglalkozik. S. S. Pillai vetette fel, hogy a hatványszámok különbségei a végtelenbe tartanak. Ekvivalensen, minden pozitív egész véges sokszor áll elő két hatványszám különbségeként. Általánosabban, az A, B, C rögzített egészekre az <math>|Ax^n - By^m| \gg x^{\lambda n}</math> különbség minden λ-ra 1-nél kisebb.<ref name=rnt>{{ cite book | pages=253–254 | title=Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT | series=Springer Monographs in Mathematics | first=Wladyslaw | last=Narkiewicz | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2011 | isbn=0-857-29531-4 }}</ref>