„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

Bizonyítás: <math>a^4b^3c=(a^{32}b^{24}c^8)^{1/8}=(a^8a^8a^8a^8b^8b^8b^8c^8)^{1/8}\le\frac{4a^8+3b^8+c^8}8</math>. A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.

 

Megmutatjuk, hogy <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1</math>. Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

<center><math>1\le\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}*1*\ldots*1} \le\frac{2\sqrt{n}+ n-2}{n}=1+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{n}\to 1.</math></center>

 

=== Az <math>(1+ \frac{1}{n})^n</math> sorozat szigorúan monoton növekedő===

<center><math>

\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^{n}*1} \le \frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}.

</math></center>

 

== A tétel súlyozott változata ==