„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
szigorú monotonsághoz nem elég a nagyobbegyenlőt bizonyítani |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
143. sor:
</math></center>
Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy <math>(1+ \frac{x}{n})^n</math> is szigorúan monoton növekedő, ahol <math>x</math> tetszőleges valós szám.
=== Azonos kerületű háromszögek ===
Azonos kerületű háromszögek között a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Egy <math>a,b,c</math> oldalú háromszög félkerülete legyen <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>. Heron képlete szerint a háromszög területe <math>t= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},</math> vagyis az <center><math>(a,b,c) \mapsto (s-a)(s-b)(s-c))</math></center> függvényt kell maximalizálnunk rögzített <math>s</math> mellett. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtleség alapján <center><math> \sqrt[3]{(s-a)(s-b)(s-c)} \le \frac{s-a+s-b+s-c}{3}= \frac{s}{3}.</math></center>
Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha <math>a=b=c</math>.
== A tétel súlyozott változata ==
| |||