Wikipédia

„Hérón-képlet” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a Visszaállítottam a lap korábbi változatát: 80.98.36.251 (vita) szerkesztéséről Hujber Tünde szerkesztésére
Nincs szerkesztési összefoglaló
45. sor:
 
=== Geometriai ===
[[Fájl:Heron.png|400px|keretnélküli|jobb|Hasonló háromszögek]]
A bizonyításhoz szükségesek:
Elég annyit belátni, hogy
* szögfelező
* <math>T t=rs= r_a(s-a)\,</math>▼
* hasonlóság
* <math>T^2 rr_a= s(s-a)(s-b)(s-c)\,</math>▼
* beírt, hozzáírt kör
mert ebből már következik, hogy
* kör érintője
<center><math>t^2=rsr_a(s-a)=s(s-a)(s-b)(s-c).</math></center>
* külső pontból húzott érintőszakaszok hossza megegyezik
* <math>T = r\ s</math> , ahol r a beírt kör sugara
▲* <math>T = r_a(s-a)\,</math>
* merőleges szárú szögek
 
Az ábráról leolvasható, hogy
<math>AD = AF = s-a</math>;
<center><math>BD t = BEt_{AOB}+t_{BOC}+t_{COA} = s-b\frac{ar+br+cr}{2}=rs,</math>;</center> és
<center><math> t =t_{AO_aB}+t_{AO_aC}-t_{BO_aC}=\frac{br_a+cr_a-ar_a}{2}=r_a(s-a),</math></center>
<math>EC = CF = s-c</math>;
valamint az <math>AG =FOB</math> ADés =<math> sEBO_a</math>; derékszögű
háromszögek hasonlók.
<math>CG = s-b</math>
 
Könnyen igazolható, hogy <math>T FB= \frac{y=s-b\</math> m_b}{2}és <math>BE= r\ s z= r_a(s-a)c</math>,
tehát <math>\frac{r}{s-b}=\frac{OF}{FB}=\frac{BE}{O_aE}=\frac{s-c}{r_a}.</math>
A tétel általánosítása [[gömbháromszög]]ekre vonatkozóan a [[l'Huillier-tétel]].▼
 
<math>A</math>, <math>E</math> és <math>D</math> egy egyenesbe esnek (beírt és hozzáírt kör középpontja), ugyanott érintik a háromszög <math>BC</math> oldalát, hiszen mindkettő az <math>A</math>-nál lévő szög felezőmerőlegesén vannak.
 
<math>T^2 = r\ r_a\ s(s-a)</math>
<math>DFC \bigtriangleup \sim CCE \bigtriangleup \longrightarrow \frac{r}{s-b}=\frac{s-c}{r_a} \longrightarrow r\ r_a = (s-b)(s-c)</math>
 
▲<math>T^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)\,</math>
 
▲A tétel általánosítása [[gömbháromszög]]ekre vonatkozóan a [[l'Huillier-tétel]].
== Más Hérón-képletek ==
A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni:
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Hérón-képlet”