27
szerkesztés
Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség (szerkesztés)
A lap 2013. október 14., 11:33-kori változata
, 9 évvel ezelőttnincs szerkesztési összefoglaló
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
|
<center><math>1\le\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}*1*\ldots*1} \le\frac{2\sqrt{n}+ n-2}{n}=1+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{n}\to 1.</math></center>
===
<center><math>
\sqrt[n+
\le \frac{n(1+\frac{1}{n})+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{n+2}=1.
</math></center>
Ebből <math>n+2</math>-edikre emelés és rendezés után adódik a felső korlát.
Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy <math>(1+ \frac{x}{n})^n</math> is szigorúan monoton növekedő, ahol <math>x</math> tetszőleges valós szám.▼
A szigorúan monoton növekedéshez azt kell igazolni, hogy <math>(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1} > (1+ \frac{1}{n})^{n}</math>. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
<center><math>
\sqrt[n+1]{(1+ \frac{1}{n})^{n}*1} \le \frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}=1+ \frac{1}{n+1}.
</math></center>
▲Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy <math>(1+ \frac{x}{n})^n</math> is korlátos és szigorúan monoton növekedő, ahol <math>x</math> tetszőleges valós szám.
=== Azonos kerületű háromszögek ===
| |||