„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
<center><math>1\le\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}*1*\ldots*1} \le\frac{2\sqrt{n}+ n-2}{n}=1+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{n}\to 1.</math></center>
 
=== Az <math>(1+ \frac{1}{n})^n</math> sorozat korlátos és szigorúan monoton növekedő===
Azt kell igazolniMegmutatjuk, hogy <math>(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1} >\le (1+ \frac{1}{n})^{n}4</math>. AValóban, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
<center><math>
\sqrt[n+12]{(1+ \frac{1}{n})^{n} *1} \le \frac{n(1+\frac{1}{n2})+1}{n+1}=1+ * \frac{1}{n+12}}.
\le \frac{n(1+\frac{1}{n})+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{n+2}=1.
</math></center>
Ebből <math>n+2</math>-edikre emelés és rendezés után adódik a felső korlát.
Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy <math>(1+ \frac{x}{n})^n</math> is szigorúan monoton növekedő, ahol <math>x</math> tetszőleges valós szám.
A szigorúan monoton növekedéshez azt kell igazolni, hogy <math>(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1} > (1+ \frac{1}{n})^{n}</math>. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
<center><math>
\sqrt[n+1]{(1+ \frac{1}{n})^{n}*1} \le \frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}=1+ \frac{1}{n+1}.
</math></center>
Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy <math>(1+ \frac{x}{n})^n</math> is korlátos és szigorúan monoton növekedő, ahol <math>x</math> tetszőleges valós szám.
 
=== Azonos kerületű háromszögek ===
27

szerkesztés