|
A '''Viète-formulák''' egy [[polinom]] gyökei és együtthatói közötti összefüggéstösszefüggéseket határozzák meg. [[François Viète]] (1540–1603) francia matematikusról (1540–1603) nevezték el őket. Foglalkozását tekintve jogász volt, királyi ügyész és jogtanácsos. Előszöraki őelőször alkalmazott betűtbetűket az együtthatók jelölésére, így a gyökök és együtthatók közötti összefüggéstösszefüggéseket az alábbiakhoz hasonló alakban tudta megadni. Formulái segítségével egyszerűbb a függvényeket ábrázolni, valamint az eredmények is könnyebben ellenőrizhetők.
Legyen <math>P_{\left( x \right)}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}</math> egy n-ed fokú polinom és <math>\frac{{}}{{}}x_{1},x_{2},...x_{n}</math> a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggés: ▼
▲Legyen <math> P_{P\left( x \right) }=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}</math> egy n- ed fokúedfokú polinom és <math> \frac{{}}{{}}x_{1},x_{2},... ,x_{n}</math> a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggésösszefüggések:
<math>\left\{ \begin{align}
& x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \\
& x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+...+x_{1}x_{n}+...+x_{n-1}x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}} \\
& ... \\
\end{align} \right.</math>
A bizonyítása azon múlik, hogy a <math> P_{P\left( x \right) }</math> polinom felírható mint <math> P_{P\left( x \right) }=a_{n} \cdot \left( x-x_{1} \right)\cdot \left( x-x_{2} \right)\cdot \left( x-x_{3} \right)...\left( x-x_{n} \right)</math> gyöktényezős alakban.▼
▲A <math>P_{\left( x \right)}</math> polinom felírható mint <math>P_{\left( x \right)}=a_{n}\cdot \left( x-x_{1} \right)\cdot \left( x-x_{2} \right)\cdot \left( x-x_{3} \right)...\left( x-x_{n} \right)</math>
==Példák==
EgyHa [[másodfokúegy egyenlet|másodfokú polinom]] <math>P_{P\left( x \right)}=ax^{2}+bx+c</math> felírhatópolinom mintgyökei <math>P_x_{1},x_{2}</math>, akkor felírható <math>P\left( x \right)}=a\cdot \left( x-x_{1} \right)\cdot \left( x-x_{2} \right)</math>, aholgyöktényezős <math>x_{1alakban,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}</math> a polinom gyökei ésígy a Viète -formulák:
<math>\left\{ \begin{align}
& x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\
& x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} \\
\end{align} \right.</math>
Ugyanezt megkaphatjuk a [[másodfokú egyenlet]] <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}</math> megoldóképletéből is.
Egy [[harmadfokú egyenlet|harmadfokú polinom]]Harmadfokú <math>P_{P\left( x \right)}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d</math> felírhatópolinom mintesetén gyöktényezős alakja <math>P_{P\left( x \right)}=a\cdot \left( x-x_{1} \right)\cdot \left( x-x_{2} \right)\cdot \left( x-x_{3} \right)</math>, ahol <math>\frac{{}}{{}}x_{1,2,3}</math> a polinom gyökei és a Viète -formulák:
<math>\left\{ \begin{align}
& x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a} \\
& x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a} \\
& x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a} \\
| 