„Párhuzamosság” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a (Bot: 38 interwiki link áthelyezve a Wikidata d:q53875 adatába)
Nincs szerkesztési összefoglaló
Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez [[affin geometria|affin]] szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a [[projektív geometria|projektív geometriához]] jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok.
 
A három dimenziósháromdimenziós euklideszi térben teljesülnek a következők:
*Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.
*Egyenes és sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy a sík tartalmazza az egyenest.
A hiperbolikus, az affin és a projektív geometriában is hasonlók teljesülnek.
 
[[Vektortér|Vektorterekben]] két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik lineárisan összefüggnek, ahol is az egyenesek értelmezhetők az egy dimenziósegydimenziós alterek [[mellékosztály]]aiként.
==Jelölése==
A párhuzamosság jele <math>\parallel</math> . Például <math>AB \parallel CD</math> azt jelenti, hogy az ''AB''egyenes párhuzamos a ''CD'' egyenessel.
:Vektoriálisan, <math>\tau</math> eltolásvektora <math>\vec{v}\in K^n</math> (lehet például <math>\vec{v}=\overrightarrow{P_1P_2}</math> az előző megfogalmazás szerint) és akkor az állítás:
* Az <math>A_1</math> és az <math>A_2</math> terek párhuzamosak, ha van egy <math>\vec{v}\in K^n</math> eltolás, hogy <math>A_1+\vec{v}\subseteq A_2</math> vagy <math>A_2\subseteq A_1+\vec{v}</math>.
Ezeket a definíciókat rendszerint legalább egy dimenziósegydimenziós alterekre alkalmazzák, hiszen eszerint a pontok és az üres halmaz mindennel párhuzamos lenne.
===Tulajdonságai===
Az így általánosított párhuzamosság a vektortér rögzített dimenziójú eltolt alterein ekvivalenciareláció. Ezek az osztályok a párhuzamos nyalábok, vagy párhuzamos altérsorok. Ha a rögzített dimenzió 1, akkor párhuzamos egyenesnyalábról, ha 2, akkor párhuzamos síksorról, ha ''n''-1, akkor párhuzamos hipersíksorról van szó. Az affin geometria nyelvén azok a ''k'' -dimenziós affin alterek párhuzamosak, amelyek a végtelen távoli hipersíkon (''k''-1 )-dimenziós altérben metszik egymást. Az összes affin altér halmazán a párhuzamosság szimmetrikus és reflexív, de nem tranzitív reláció.
==Rokon fogalmak==
A párhuzamos eltolás minden pontot egy adott távolsággal tol el egy adott irányban. Vektoriálisan, <math> x \mapsto x+a </math>. Így futhatnak párhuzamosan félegyenesek és szakaszok is. Hasonlóan eltolhatók görbék is a normálisuk irányában. A <math> \gamma(s) \in \mathbb{R}^2 </math> görbének párhuzamos görbéi a <math> \gamma(s) \pm a n(s) </math> görbék, ahol <math> n(s) </math> normálvektora <math> \gamma(s) </math>-nek. Erre példák a koncentrikus körök.