„Gauss-egész” változatai közötti eltérés

== Egységek, asszociáltak, prímelemek ==

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,''i'',-''i''. Ezek az ''egységek'', tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás ''asszociáltjai''nak nevezzük. 1+''i'' Gauss-prím és 2 prímfelbontása <math>2=-i(1+i)^2</math>. Minden <math>p\equiv 3 \pmod{4}</math> <math>{\mathbf Z}</math>-beli prímszám <math>{\mathbf Z}[i]</math>-ben is prím. Ha viszont <math>p\equiv 1 \pmod{4}</math> prímszám, akkor ''p'' felbomlik, mint <math>p=(a+bi)(a-bi)</math>, ahol <math>a^2+b^2=p</math> (ilyen felbontás a [[két-négyzetszám-tétel]] szerint mindig létezik) és az <math>a+bi</math>, <math>a-bi</math> Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: <math>x\equiv y \pmod{z}</math> akkor teljesül, ha ''x''-''y'' osztható ''z''-vel. Ekkor, ha <math>\pi</math> prímelem, akkor a mod <math>\pi</math> maradékosztályok száma <math>N(\pi)</math>.

== Egyértelmű prímfaktorizáció ==

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így <math>{\mathbf Z}[i]</math> [[euklideszi gyűrű]]: ha <math>a,b\in{\mathbf Z}[i]</math>, <math>b\neq 0</math>, akkor létezik <math>q</math> és <math>r</math>, hogy <math>a=bq+r</math> és <math>N(r)<N(b)</math>. Innen adódik, hogy <math>{\mathbf Z}[i]</math>-ben igaz a [[számelmélet alaptétele]] is: a felbonthatatlan elemek (azon <math>\pi</math> nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy <math>\pi=xy</math> esetén ''x'' vagy ''y'' asszociáltja <math>\pi</math>-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon <math>\pi</math> nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy <math>\pi\mid xy</math> esetén <math>\pi\mid x</math> vagy <math>\pi\mid y</math> teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző ''x'' felírható <math>x=\pi_1\cdots\pi_r</math> alakban, ahol <math>\pi_1,\dots,\pi_r</math> prímelemek, továbbá, ha <math>x=\rho_1\cdots\rho_s</math> egy másik felírás, akkor <math>s=r</math> és a tényezők úgy indexezhetők, hogy ''j''=1,…,''r''-re <math>\rho_j</math> asszociáltja <math>\pi_j</math>-nek.