„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a (Bot: 34 interwiki link migrálva a Wikidata d:q205170 adatába)
==Példa==
Ha <math>H</math> az <math>\{a, b, c\}</math> háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
* nulla eleműnullaelemű részhalmaza az <math>\emptyset</math> [[üres halmaz]]
* egyelemű részhalmazai az <math>\{a\}</math>, a <math>\{b\}</math> és a <math>\{c\}</math>
* kételemű részhalmazai: <math>\{a, b\}</math>, <math>\{a, c\}</math>, és <math>\{b, c\}</math>
* egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga: <math>\{a, b, c\}</math>
Tehát <math>\mathcal{P}(H)=\big\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\big\}</math>
 
==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai==
Cantor elméletében, a [[naiv halmazelmélet]]ben egyáltalán nem kétséges, hogy minden ''H'' halmaz esetén a <math>x\subseteq H</math> kijelentésből képezett <math>\{x\mid x\subseteq H\}</math> halmaz ''létezik.'' Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát ''hatványhalmaz axiómának'' nevezzük.
===Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer===
:''Megjegyzés:'' Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló jelölést.
* '''Tétel''' – ''([[Cantor-tétel]])'' – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál.
 
Jelben: <math>| \mathcal{P}(H) | > |H|</math>.
 
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a <math>\mathcal{P}(U)</math> összességet, de mivel ''Set(U)'' cáfolható, azaz ''U'' nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.
 
==Felhasznált irodalom==
===Bourbaki halmazelméletéről===
* Kristóf János, ''Az analízis logikai alapjai,'' ELTE jegyzet, 1998.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki- szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
 
* Kristóf János, ''Az analízis elemei. I.,'' ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki- szerint. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
* Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
* [http://planetmath.org/encyclopedia/NicolasBourbaki.html Cikk a Bourbaki-csoportról]