„Σ-algebra” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a (Bot: 32 interwiki link migrálva a Wikidata d:q217357 adatába)
{{kisbetűscím}}A '''σ-algebra''' ~ '''(szigma-algebra''') vagy '''Borel-féle halmaztest''', illetve '''mérhető tér''' a [[matematikai struktúra|matematikai struktúrák]] egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű [[topologikus struktúra]], amely amellett, hogy egyszerű [[halmaztest]]et (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) [[Számosság|legfeljebb megszámlálhatóan végtelen]] sok tagú [[unió (halmazelmélet)|egyesítésére]] is zárt.
 
== Formális definíció ==
=== Axiómák ===
 
Legyen Ω<math>\Omega</math> tetszőleges halmaz, ''<math>\mathcal{P''}(Ω\Omega)</math> az Ω<math>\Omega</math> [[részhalmaz]]aiból álló [[hatványhalmaz]], és legyen <bigmath>''\mathcal{A''}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)</bigmath> az <math>\inOmega</math>''P''(Ω) az Ωrészhalmazainak egy részhalmazai halmaza.
 
Az <bigmath>''\mathcal{A''}</bigmath> halmazt az Ω<math>\Omega</math> halmaz feletti '''σ-algebrá'''nak nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:
 
|| 1. || <bigmath>''\mathcal{A''}</bigmath> nem [[Üres halmaz|üres]], || &nbsp; &nbsp; &nbsp; azaz &nbsp; || <big>''A''</big>≠<math>\mathcal{A}\neq\emptyset</math>.
{| align=center border=0 width=95% cellpadding=3
|-
|| 1. || <big>''A''</big> nem [[Üres halmaz|üres]], || &nbsp; &nbsp; &nbsp; azaz &nbsp; || <big>''A''</big>≠<math>\emptyset</math>
|-
|| 2. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely eleme <br />(Ω-ra vonatkozó) [[Halmaz#Komplementer_halmaz|komplementerét]], <br /> vagyis zárt a komplementer- <br />képzés műveletére; || &nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz &nbsp; || A<math>\in</math><big>''A''</big> <math>\Rightarrow</math> <font style="text-decoration: overline;">A</font><math>\in</math><big>''A''</big>
|-
|| 3. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely legfeljebb <br /> megszámlálható&nbsp;[[halmazrendszer|halmazcsaládja]]&nbsp;[[Unió (halmazelmélet)|unióját]], <br /> vagyis zárt a <br /> megszámlálható unióképzésre.|| &nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz &nbsp; || <math>(q_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in \ ^{\mathbb{N}} \mathcal{P}(\mathcal{A}) \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} q_{i} </math>
|}
 
|| 2. || <bigmath>''\mathcal{A''}</bigmath> tartalmazza bármely eleme (<math>\Omega<br /math>-ra vonatkozó) [[Halmaz#Komplementer_halmaz|komplementerét]], <br /> vagyis zárt a komplementer- <br />képzéskomplementerképzés műveletére; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;, azaz &nbsp; || A<math>A\in</math><big>''\mathcal{A''</big> <math>}\Rightarrow</math> <font style="text-decoration: \overline;">{A</font><math>}\in\mathcal{A}</math><big>''A''</big>.
Az utolsó axiómában <sup>'''N'''</sup>''P''(<big>''A''</big>) értelemszerűen az <big>''A''</big> elemeiből alkotott megszámlálhatóan végtelen mérhetőhalmaz-[[sorozat (matematika)|sorozatok]] halmazát jelöli, (''q''<sub>i</sub>)<sub>i∈'''N'''</sub> egy ide eső sorozatot; és szokásosabb jelölésmóddal arról van szó, hogy ha A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>n</sub>, … egy ilyen sorozat, akkor <math>\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{A}</math> kell hogy teljesüljön. Éppen innen ered a fogalom elnevezése is, mivel az <math>\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i}</math>-t régies jelöléssel <math>\sum_{i=0}^{\infty} A_{i}</math>-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok szigma jellel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden '''σ-zártság'''nak szokás nevezni.
 
|| 3. || <bigmath>''\mathcal{A''}</bigmath> tartalmazza bármely legfeljebb <brmegszámlálható /> megszámlálható&nbsp;[[halmazrendszer|halmazcsaládja]]&nbsp; [[Unió (halmazelmélet)|unióját]], <br /> vagyis zárt a <br /> megszámlálható unióképzésre.|| &nbsp;&nbsp;&nbsp;, azaz &nbsp; || <math>(q_A_{i})_{i \in \mathbbmathcal{N}A} (i\in \ ^{\mathbb{N}}) \mathcalRightarrow\bigcup_{Pi=0}(^{\mathcal{Ainfty}) \Rightarrow \bigcup_A_{i }\in \mathbbmathcal{NA}} q_{i} </math>.
Amint a [[Halmazalgebra#Definíciók|halmazalgebra]] cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "<big>''A''</big> tartalmazza az üres halmazt", akár az "<big>''A''</big> tartalmazza az univerzális halmazt (Ω-t, avagy a [[biztos esemény]]t)" tulajdonsággal, azaz az
 
<center>∅∈<big>''A''</big></center>
Az utolsó axiómában <sup>'''N'''</sup>''P''(<big>''A''</big>) értelemszerűen az <big>''A''</big> elemeiből alkotott megszámlálhatóan végtelen mérhetőhalmaz-[[sorozat (matematika)|sorozatok]] halmazát jelöli, (''q''<sub>i</sub>)<sub>i∈'''N'''</sub> egy ide eső sorozatot; és szokásosabb jelölésmóddal arról van szó, hogy ha A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>n</sub>, … egy ilyen sorozat, akkor <math>\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{A}</math> kell hogy teljesüljön3. Éppen innenaxiómából ered a fogalom elnevezése is, mivel az <math>\bigcup_{i=0}^{\infty} A_{i}</math>-t régies jelöléssel <math>\sum_{i=0}^{\infty} A_{i}</math>-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok szigma jellel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden '''σ-zártság'''nak szokás nevezni.
<u>vagy</u> akár az
 
<center>Ω∈<big>''A''</big></center>
Amint a [[Halmazalgebra#Definíciók|halmazalgebra]] cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az "<math>\mathcal{A}</math> tartalmazza az üres halmazt (<math>\emptyset</math>-t, avagy a valószínűség-számításban a [[lehetetlen esemény]]t)", akár az "<math>\mathcal{A}</math> tartalmazza az univerzális halmazt (<math>\Omega</math>-t, avagy a valószínűség-számításban a [[biztos esemény]]t)" tulajdonsággal, azaz az <math>\emptyset\in\mathcal{A}</math>, vagy akár az <math>\Omega\in\mathcal{A}</math> axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "<math>\mathcal{A}</math> zárt a [[különbség]]képzésre", azaz <math>A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A}</math> axiómával is.
axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az "<big>''A''</big> zárt a [[különbség]]képzésre"
<center>(A,B∈<big>''A''</big> ⇒ A\B∈<big>''A''</big>)</center> axiómával is.
A fogalom analogonja megfogalmazható az Ω feletti [[halmazrendszer]]ek esetére is.
 
=== Mérhető tér ===
 
Az <math>(Ω\Omega, <big>''\mathcal{A''})</bigmath>) [[rendezett pár]]-t '''mérhető tér'''-nek nevezzük, <bigmath>''\mathcal{A''}</bigmath> elemeit pedig '''mérhető halmaz'''oknak.
 
=== Összefüggés más struktúratípusokkal ===
A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a [[λ-rendszer]] fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.<ref>Ambar N. Sengupta: ''[http://www.math.lsu.edu/~sengupta/7312s02/sigmaalg.pdf Sigma Algebras]'' ([[pdf]]-jegyzet, v. 2007. augusztus 5. 23:51.).</ref>
 
Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy <big>''A''</big> véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az [[halmaztest|egyszerű halmaztest]] fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a [[topologikus tér]] fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény <ref>Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az <big>''A''</big> = <nowiki>{∅, {1}, {1,2}}</nowiki> halmaz egy [[topologikus tér|topológiát]] alkot, zárt az uniójraunióra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja <big>''A''</big>-nak.</ref>
 
Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett [[rendezett pár]], a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő <big>''A''</big> halmaza. Magát az (Ω, <big>''A''</big>) párt '''mérhető tér'''nek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns<!--ezért vettem egy cikkbe-->).
<center> <math> \overline{ \bigcap_{i \in I} A_{i} } = \bigcup_{i \in I} \overline{A}_{i} </math>. </center>
 
Képezve mindkét oldal komplementerét:
<center> <math> \bigcap_{i \in I} A_{i} = \overline{ \bigcup_{i \in I} \overline{A}_{i} } </math>. </center>
 
Ha mármost szigma-algebrában vagyunk, azaz A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, …, A<sub>n</sub>, … legfeljebb megszámlálható sok tagú <big>''A''</big>-beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően
<center> <math> \bigcap_{i = 0}^{\infty} A_{i} = \overline{ \bigcup_{i=0}^{\infty} \overline{A}_{i} } </math>; </center>
 
Ha <big>''A''</big> szigma-algebra, akkor <font style="text-decoration:overline">A</font><sub>i</sub>∈<big>''A''</big>-nak minden i∈'''N'''-re, és így utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme <big>''A''</big>-nak, [[QED|■ QED]].
=== Generált algebra ===
 
<center>''Fő szócikk'': [[Generált szigma-algebra]]</center>
 
Igen fontos eszköz a szigma-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:
 
'''Tétel''': Legyen Ω tetszőleges halmaz, és <big>''G''</big>⊆''P''(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(<big>''G''</big>) szigma-algebra, amelynek <big>''A''</big> minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb ([[legkisebb elem|legkisebb]]) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó szigma-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).
# Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆''P''(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti '''teljes σ-algebra'''.
 
# Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig szigma-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti szigma-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még [[atomhalmaz]].
# Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a [[generált σ-algebra]] c. fejezetben.