„Rolle-tétel” változatai közötti eltérés

A [[matematikai analízis]]ben a '''Rolle tétele-tétel''' vagy a '''[[Michel Rolle|Rolle]]-féle középértéktétel''' az egyik fontos és gyakran alkalmazott tétel, ami egy intervallumon értelmezett differenciálható függvény „vízszintes” érintőjének (azaz a derivált zérushelyének) létezésére ad elégséges feltételt.

Tegyük fel, hogy egy pontban <math>f</math> értéke ettől eltér, mondjuk. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb <math>f(a)=f(b)</math>-nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a <math>-f</math> függvényre kell alkalmaznunk). A [[Weierstrass tétele-tétel]] szerint a függvény az <math>[a,b]</math> intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen <math>c</math> egy ilyen pont. <math>c</math> nem lehet <math>a</math>-val vagy <math>b</math>-vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond <math>f(c)</math> maximális tulajdonságának. Mivel <math>f</math> a <math>c</math>-ben (mely az értelemezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó [[Fermat-tétel (analízis)|Fermat-tétel]] miatt ott a deriváltja 0. <big><big><big> [[Quod erat demonstrandum|■]] </big></big></big>

* Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7

{{DEFAULTSORT:RolleteteleRolletetel}}