„Elsőrendű logika” változatai közötti eltérés

a
Robot dolgozik: – cseréje nagykötőjelre
a (A lap létrehozásának időpontja 2005-06-03. Sablon dátumozás: {{csonk-dátum|csonk\1|2005 júniusából}})
a (Robot dolgozik: – cseréje nagykötőjelre)
Az '''elsőrendű logika''' a [[matematikai logika]] egyik elmélete, mely az [[elsőrendű nyelv|elsőrendű logikai nyelvekkel]] foglalkozik. Ezek első közelítésben olyan logikai nyelvek, melyekben lehetőség van az individuumváltozók [[kvantifikáció|kvantifikálására]], vagyis a „van olyan ... amelyre ... ” (<math> \exist x: ... </math>) és „minden ...-re igaz ... ” (<math> \forall x: ... </math>) és ehhez hasonló állítások megfogalmazására &ndash; noha e meghatározás pontatlan, és további taglalaásra szorul, ami [[#Az elsőrendű nyelv|lentebb]] található.
 
Az elsőrendű nyelveket, ahogy a [[formális nyelv]]eket általában legkézenfekvőbb logikai formulák, betűsorozatok [[halmaz]]aként definiálni. Ahogy minden formális nyelv esetén, adva van egy [[nyelvbázis]], azaz egy betűkészlet és egy csomó szabály, mely megadja, hogy a betűket milyen sorrendben lehet és kell összerakni. Ezt a folyamatot vizsgálja a [[szintaxis]]. A nyelvben vannak nem-logikai konstansok és '''individuumváltozó'''k, melyek valamilyen adott U halmaz, az '''univerzum''' elemeit jelenthetik, vannak az U halmazon értelmezett „homogén” [[művelet]]eket (függvényeket) jelölő függvényszimbólumok, melyek az U halmazba képeznek, és vannak az U halmazon értelmezett, de az {„igaz”, „hamis”} (más jelöléssel {0,1}) halmazba képző „heterogén” műveleteket, a logikai függvényeket vagy '''[[predikátum]]'''okat jelölő predikátumszimbólumok, vannak segédjelek (a nyitó- és csukózárójel), és végül vannak logikai jelek (kvantorok és logikai műveleteket jelölő összekötőjelek, junktorok).
 
Az elsőrendű logika főbb ágai, a fontosabb kutatási területek:
* [[Bizonyításelmélet]] &ndash; az elsőrendű logikán belül neve [[Predikátumkalkulus]]. A logikai kalkulusok azzal foglalkoznak, hogy hogyan lehet az illető logikai elméletet axiomatikusan felépíteni. Megadunk néhány, általában szemantikai érvek alapján „elfogadott” formulát ('''axiómá'''k) és néhány szintaktikai '''levezetési szabály'''t, melyek segítségével „elfogadott” formulából „elfogadott” formulák gyárthatóak. Ez a két összetevő alkot egy kalkulust. A cél, hogy egyrészt minden „elfogadott” formulát le tudjunk vezetni (a kalkulus '''teljes''' legyen), másrészt minden levezethető formula „elfogadott” legyen (a kalkulus '''helyes''' legyen). Röviden szólva, minden igazságot bizonyítani lehessen, de egy hülyeséget sem. Az elsőrendű predikátumkalkulus fejlesztésében szerepet vállaló legfontosabb kutatók: [[Gottlob Frege|G. Frege]], [[Bertrand Russell|B. Russell]], [[David Hilbert|D. Hilbert]], [[Kurt Gödel|K. Gödel]], [[Gerhard Gentzen|G. Gentzen]], [[Leon Henkin|L. Henkin]], [[Alfred Tarski|A. Tarski]], [[John Alan Robinson|J.A. Robinson]], [[Jan Łukasievicz|L. Łukasievicz]]. A főbb elméletek, alágak:
** Az elsőrendű [[Hilbert-kalkulus]],
** Az elsőrendű [[Frege-kalkulus]]
** [[Tablókalkulus]],
** [[Rezolúciós kalkulus]].
* [[Modellelmélet]] &ndash; Egy formula vagy nyelv modelljének egyszerűen egy olyan interpretációt ([[matematikai struktúra|matematikai struktúrát]]) nevezünk, mely a formulát kielégíti. A modellelmélet ezen interpretációk egymáshoz és a formulához való viszonyaival foglalkozik. Tehát ez egy elsősorban szemantikai jellegű tudományág. Legfontosabb területe a modellunivwerzumok [[számosság|számosságának]] kutatása, az itt elért fő eredmény a [[Löwenheim-Skolem-tétel]]. A legnevesebb kutatók: [[Leopold Löwenheim|L. Löwenheim]], [[Kurt Gödel|K. Gödel]], [[Anatolij Ivenevics Malcev|A. I. Malcev]].
* A bizonyításelméletből nőtt ki mára önálló tudományággá a „számításelméleti” vagy „számítógépes logika”, melynek fő területe az automatikus tételbizonyítás kutatása. Legfontosabb elmélete a rezolúciós kalkulus. Ezenkívül foglalkozik a logika számításelméleti vonatkozásaival is (kielégíthetőségi problémák [SAT] és megoldhatóságuk kutatása és jellemzése).
 
=== Az elsőrendű nyelv ===
 
Egy véges sok [[szimbólum]]ot tartalmazó, adott jelkészlet vagy ábécé feletti logikai nyelvben &ndash; [[Gottlob Frege|Frege]] nyomán <sup> [[Fogalomírás#Állandó és változó|ld. itt]] </sup> kétféle szimbólumot különböztetünk meg: állandókat és változókat. A modern elsőrendű logikában e megkülönböztetés a következőképp differenciálódott:
* A '''segédjel'''ek „értelmetlennek”, szakszerűbben „jelentés nélkülinek” <sup> [[#MIniesszé erről lentebb]] </sup> nevezhetőek, csak a formulák elválasztását és szintaktikai-pragmatikai támogatását végzik: az elsőrendű nyelvekben két segédjel van, a nyitó- és csukó zárójel ( ( és ) ); mellesleg megoldható lenne az is (az ún. [[lengyel jelölés]]sel vagy a [[Fogalomírás]]ban, de akár jelölési konvenciók/axiómák bevezetése által is), hogy ne is kelljen szerepelniük az elsőrendű logikában.
* Az '''állandók''' vagy '''konstansok''' értelme az adott nyelvben mindig ugyanaz. Kétféle állandót különböztethetünk meg a logikai nyelvekben:
116 360

szerkesztés