„Maradékosztály” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
+lektor: tipikus példája a laikus számára használhatatlan, formailag nem definitív jellegű, s.s. nem átgondolt bevezetőnek |
a hiv. korr, + egyéb apróság AWB |
||
1. sor:
{{lektor}}
Legyen az ''m'' egy [[természetes számok|természetes szám]]. Mivel a [[kongruencia]] ekvivalenciareláció, ezért osztályoz.
Tetszőleges <math>m \geq 2</math> egész esetén az egész számok <math>\mathbb{Z}</math> halmaza ''m'' diszjunkt osztály uniójára bomlik fel, mégpedig úgy, hogy <math>0 \leq i \leq m -1</math> esetén az ''i''-dik osztályban <math>k \cdot m + i</math> alakú számok vannak, ahol ''k'' végigfut az egészeken (más szóval, az ''i''-dik osztályba az ''m''-mel osztva i maradékot adó számok tartoznak). Ezeket az osztályokat ''m'' szerinti, vagy másképpen ''modulo m'' maradékosztályoknak nevezzük. A maradékosztályok jelentősége az, hogy ha két szám azonos maradékosztályba esik (modulo ''m''), akkor kongruensek egymással modulo ''m'', ha pedig különböző maradékosztályból valók, akkor nem kongruensek.
8. sor:
==Tulajdonságok==
A ''mod m'' maradékosztályok [[gyűrű (matematika)|gyűrűt]] alkotnak: összeadhatók, kivonhatók és szorozhatók, de az osztás nem végezhető el reprezentáns elemekkel. Multiplikatív inverze ugyanis pontosan a [[redukált maradékosztály]]oknak van. Ezek minden eleme [[relatív prímek|relatív prím]] ''m'' -hez. Ha ''m'' prím, akkor az invertálás segítségével az osztás is definiálható; ekkor a maradékosztályok gyűrűje [[test (algebra)|test]].
==Teljes maradékrendszer==
19. sor:
'''Bizonyítás''' - Legyen ''T''<sub>''m''</sub> teljes maradékrendszer ''mod m'' Minden maradékosztályból egy és csak egy elem van ''T''<sub>''m''</sub> -ben, ezért ''T''<sub>''m''</sub> elemszáma ''m''.
Mivel minden maradékosztályból egy elemet választottuk, ezért ''T''<sub>''m''</sub> elemei között nincs két szám, amely egymással kongruens.
Tekintsünk most ''m'' darab számot, amik között nincsenek [[kongruencia|kongruensek]]. Ezek csupa különböző maradékosztályba tartoznak, és, mivel ''m'' darab van belőlük, azért az összes maradékosztály képviselve van.
34. sor:
'''Tétel''' - Ha ''a kongruens b mod m'', akkor ''lnko(a,m) = lnko(b,m)''
'''Bizonyítás''' - A kongruencia azt jelenti, hogy ''b = a + mc'' valamely ''c'' egész számra. ''a'' és ''m'' is osztható ''lnko(a,m)'' -mel, ezért ''lnko(a,m)'' ''b'' -nek és ''m'' -nek is közös osztója, így ''lnko(a,m)'' osztója ''lnko(b,m)'' -nek.
A fordított oszthatóság ugyanígy, szerepcserével adódik.
| |||