„Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet” változatai közötti eltérés

a
hiv. korr, + egyéb apróság AWB
a (hiv. korr, + egyéb apróság AWB)
A '''Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet''' (rövidítve: '''NBG''') a [[matematika]] egy nagy jelentőségű formális-axiomatikus rendszere, mely a [[halmazelmélet]]et kívánja egy, a [[Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet]]hez hasonló módon formalizálni.
 
A leglényegesebb különbség az '''NBG''' és a '''ZFC''' (a Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer kibővítve a [[kiválasztási axióma|kiválasztási axiómával]]) között, hogy az '''NBG'''-ben közvetlenül hivatkozhatunk a [[osztály (halmazelmélet)|valódi osztályokra]], míg a '''ZFC'''-ben csak némi "ügyeskedéssel" tehetjük ezt. Az '''NBG''' azáltal, hogy nagyobb rálátást biztosít a halmazokra, a matematika tágabb területein alkalmazható hatékonyan, mint például a [[kategória (matematika)|kategóriaelmélet]] vagy a halmezelmélet egészét vizsgáló [[modellelmélet]]. Mindazonáltal ez az előny csak látszólagos (nyelvi eredetű) tekintve, hogy a két elmélet ekvikonzisztens (az '''NBG''' a '''ZFC''' konzervatív bővítése).
== Az elmélet kifejtése ==
 
Az elmélet nyelvében két logikai relációjel szerepel, az egyenlőség szimbóluma ( = ) és az eleme szombólum ( ∈ ). Az egyenlőség tulajdonságait a [[predikátumkalkulus]] szokásos logikai szabályai rögzítik, az eleme jel tulajdonságait a matematikai axiómákban fogalmazzák meg. A változók szándékolt módon [[osztály (halmazelmélet)|osztályokat]] jelölnek, tehát a halmaz fogalmát ebben az elméletben definiálni lehet.
 
:''Most egy olyan axiómarendszert mutatunk be, mely szellemében a legközelebb áll a '''ZFC''' rendszerhez.
A később említendő részhalmaz axióma miatt ebből rögtön következik, hogy az üres osztály halmaz, mert az üres osztály minden osztálynak részosztálya. Megjegyezzük, hogy még a komprehenzivitási axióma nélkül sem kell feltennünk, hogy ''létezik'' osztály, hiszen a rendszer minden termje osztályt jelöl, így az osztályok, mint termek nyelvi értelemben léteznek. Gyakran az axiómát úgy fogalmazzák meg, hogy az üres osztály halmaz.
 
Mindezek után sorra megkövetelik a '''ZFC''' rendszer összes axiómáját halmazokra relativizálva.
 
:'''R<small>ÉSZHALMAZ AXIÓMA</small>''' – Minden halmaz részosztálya is halmaz.
:'''E<small>GYESÍTÉSI AXIÓMA</small>''' – Ha ''H'' halmaz, akkor az ∪H := { x | (∃y)( y ∈ H ∧ x ∈ y ) } unióosztály halmaz.
 
Definiálható halmazok ''[[rendezett pár]]''jának fogalma ( {{a},{a,b}} ), ''osztályok Descartes-szorzata'' ( A × B := { (x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B } ) és az osztályok között ható funktor fogalma. A ''funktor'' olyan osztály, mely az A és B osztályok Descartes-szorzatának olyan F részosztálya, amely egyrészt a második változójában egyértelmű, azaz ha (x,y<sub>1</sub>) ∈ F és (x,y<sub>2</sub>) ∈ F, akkor y<sub>1</sub> = y<sub>2</sub> és másrészt a párok első tagjaként az összes A-beli elem részt vesz. Azt, hogy F egy A-ból B-be menő funktor úgy jelöljük, hogy F: A <math>\rightarrow</math> B. Ha egy funktor halmaz, akkor ''függvény''nek nevezik. Egy F: A <math>\rightarrow</math> B funktor értékkészlete azon elemekből áll, melyeket az a B osztályból elér, azaz F(A) := { F(x) | x ∈ A }. Ha I és A nem üres osztály, akkor egy I''-vel indexelt osztályrendszer'' olyan (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> funktor, mely I elemeihez A elemeit rendeli. Ha I halmaz, akkor az (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> rendszer ×<sub>i∈I</sub>A<sub>i</sub> ''Descartes-szorzat''a mindazon f: I <math>\rightarrow</math> ∪A ''kiválasztó függvény''ek összessége, melyek olyanok, hogy minden i∈I-re f(i) ∈ A<sub>i</sub>. Ezeken kívül definiálni kell a [[természetes számszámok]]ok halmazelméleti modelljeit a [[Rendszám (halmazelmélet)|rendszámokon]] keresztül és ezesetben megfogalmazhatók a további axiómák:
 
:'''V<small>ÉGTELENSÉGI AXIÓMA</small>''' – Az összes <nowiki>Ø , {Ø} , {Ø,{Ø}}, {Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}, … H ∪ {H}, …</nowiki> alakú "természetes szám" halmazok osztálya halmazt alkot.
315 968

szerkesztés