„Borel–Lebesgue-tétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
32. sor:
'''2. bizonyítás'''
Legyen ''C'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> korlátos és zárt halmaz, {Ω<sub>i</sub>}<sub>i∈I</sub> nyílt fedése ''C''-nek. Fedjük le ''C''-t véges sok ''1/k'' sugarú gömbbel.
Ezzel minden ''k''∈ℕ-re definiáltuk {Ω<sub>i</sub>}<sub>i∈I</sub> -nek egy véges Φ<sub>k</sub> részhalmazát. Ha Φ<sub>k</sub> fedi ''C''-t, akkor készen vagyunk. Ellenkező esetben létezik egy {x<sub>k</sub>}⊆''C'' sorozat amire teljesül, hogy x<sub>k</sub>-t Φ<sub>k</sub> egyik tagja sem fedi. ''C'' korlátossága és a Bolzano–Weierstrass-tétel alapján feltehető, hogy {x<sub>k</sub>} konvergens, azaz x<sub>k</sub> → x∈'''R'''<sup>n</sup>. ''C'' zártsága miatt x∈''C'', tehát létezik egy ''j∈I'' index amire x∈Ω<sub>j</sub>. Viszont létezik egy ''1/k'' sugarú B<sub>k</sub> gömb is, amire x<sub>k</sub>∈B<sub>k</sub>. Erre elég nagy ''k'' esetén B<sub>k</sub>⊆Ω<sub>j</sub> teljesül, hiszen x<sub>k</sub> → x∈Ω<sub>j</sub> és 1/k→0, ami ellentmond Φ<sub>k</sub> és x<sub>k</sub> választásának. [[Quod erat demonstrandum|■]]
| |||