„Hatványsor” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a 1 link korr. (egyért. lap kikerülése) |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
11. sor:
==Konvergenciasugár==
Az <math>x_0</math> körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit <math>r</math>
A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:
:<math> r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.</math>
Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:
:<math> r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|, </math>
24. sor:
*<math>|x-x_0|<r \Rightarrow</math> esetén a hatványsor abszolút konvergens
*ha <math>|x-x_0|>r \Rightarrow</math>, akkor divergens
*hogyha <math>|x-x_0|=r \Rightarrow</math>, akkor nem lehet semmit sem mondani a
*ha pedig
==Műveletek==
===Összeadás és skalárral szorzás===
Ha <math>f</math> és <math>g</math> hatványsorok,
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n</math>
:<math>g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n</math>
''c'' komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy ''r'' sugarú körben,
akkor a <math>f+g</math> és <math>cf</math> hatványsorok is konvergensek ''r'' sugarú körben, és
41. sor:
===Szorzás===
Ha két hatványsor konvergens egy ''r'' sugarú körben, akkor
:<math>\begin{align}
f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty
= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n
\end{align}</math>
73. sor:
==Példák==
*A [[polinom]]ok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
*[[Exponenciális függvény]]: <math>e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad \mathrm{ha}\ x \in \mathbb{R}</math>,
:a konvergenciasugár végtelen
*[[Logaritmus]], <math> \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+ \cdots
\quad \mathrm{ha} \quad -1 < x \leq 1 </math>.
:A konvergenciasugár 1; <math>x=1</math>-ben konvergens, <math>x=-1</math>-re divergens
*[[Négyzetgyök]], <math>\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 - \cdots
\quad \mathrm{ha} \quad -1 \leq x \leq 1</math>,
:a konvergenciasugár 1, és a sor <math>x=1</math>-ben és
*Hatványsor (saját középpontjához tartozó) [[Taylor-sor]]a előállítja magát a hatványsort
88. sor:
*Halász Gábor: Komplex függvénytan
*Kurt Endl/Wolfgang Luh: ''Analysis II''. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85-89, 99
*E. D. Solomentsev: [http://eom.springer.de/P/p074240.htm ''Power series''] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]]
[[Kategória:Analízis]]
| |||