„Matematikafilozófia” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a (hiv. korr, + egyéb apróság AWB)
=== Az első tétel következményei ===
 
Gödel első nemteljeséginemteljességi tétele azt mondja ki, hogy:
:''Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.''
 
:''Ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben az 'ez az elmélet ellentmondásmentes' mondatnak megfelelő formális kijelentés nem bizonyítható.
 
A második tétel sokkal súlyosabb következményekkel jár. Tegyük fel, hogy a ''T'' formális-axiomatikus elmélet ellentmondásmenteségétellentmondásmentességét szándékozunk bizonyítani. Ezt a bizonyítást a szintén formális-axiomatikus ''T ' '' (meta)elméletben tesszük meg. Legyen ennek a ''Cons(T)'': 'T ellentmondásmentes' mondat bizonyításának formalizált változata a ''T ' ''-beli ''p'' lépéssorozat. Ha a ''p'' bizonyítás elvégzéséhez szükséges elméleti háttér azonos erősségű a ''T'' elmélettel, azaz ''p'' lefordítható ''T'' nyelvére, akkor ''T''-ben megfogalmazható és bizonyítható lesz ''Cons(T)'' fordítása. Márpedig Gödel második nemteljességi tétele azt állítja, hogy nem létezik, ''Cons(T)''-nek bizonyítása, így ''p'' fordítása sem lehet az, ami ellentmondás. De az aritmetikát minden megalapozási célra szánt matematikai elméletnek tartalmaznia kell, így ellentmondásmentességének bizonyítását eszerint nem lehet semmilyen azonos erősségű metaelmélet alapján bebizonyítani. Speciálisan: az aritmetika ellentmondásmentességét nem lehet aritmetikai eszközökkel bizonyítani – ahogy azt Hilbert szándékozott volna. (Megjegyezzük, hogy az aritmetika ellentmondásmentességére transzfinit bizonyítást azonban már talált Gerhard Gentzen 1936-ban.)
 
A Gödel-tételek eredményeként a matematika alapjai kérdésköre kikerült a matematikafilozófia centrális problémái közül. A tételek zavarbaejtő volta miatt nehéz bármit állítani arról, hogy milyen ellentmondásmentes formális elmélet felel meg a teljes matematikának. A Hilbert által életre hívott [[metamatematika]], mely a formális matematikai elméletek elmélete lenne matematikai eredményeit illetően beleolvadt a logikába, illetve filozófiai funkciójától teljesen megfosztva célját vesztette. Úgy tűnik, hogy a metamatikusokmatematikusok lemondtak arról a romantikus álmukról, hogy saját tudományuk filozófiáját minden „bölcsészeti pontatlanságtól mentesen” saját maguk, matematikai módszerekkel alkossák meg. A matematikafilozófiának azonban a russelli hagyományt követő analitikkusanalitikus filozófiában kitüntetett szerepe van, minthogy szigorú tudományos nyelvezete miatt nyelvfilozófiai eszközökkel hatékonyan vizsgálható.
 
''Az alábbiakban kitérünk a matematikafilozófia „Gödel utáni” főbb irányvonalaira. Ezek történeti előzményei javarészt megtalálhatók [[a matematikafilozófia története]] szócikkben.''
 
[[Gottlob Frege]], az első „hivatásos” matematikafilozófus határozottan platonista volt, mint ahogy az a következő idézetből is kitűnik:
:„A botanikus éppúgy valami ténylegeset kíván megállapítani, amikor egy virág sziromleveleinaksziromleveleinek számát adja meg, mint amikor a színét. Az egyik éppoly kevéssé függ a mi önkényünktől, mint a másik. Fennáll bizonyos hasonlóság a számosság és a szín között; de ez nem abban van, hogy mindkettő érzékileg észelhetőészlelhető külső tárgyakon, hanem hogy mindkettő objektív.
:Azt, hogy objektív megkülönböztetem attól, hogy kézzelfogható, térbeli, valóságos. A Föld tengelye, a Naprendszer tömegközéppontja objektív, de nem szívesen nevezném valóságosnak. Az Egyenlítőt gyakran nevezzük elgondolt vonalnak; de hamis volna kigondolt vonalnak nevezni; nem gondolkodás által keletkezett, nem lelki folyamat eredménye, hanem csupán arról van szó, hogy gondolkodás által ismerjük fel, ragadjuk meg. Ha az ismertté válás keletkezés volna, akkor semmi pozitívat nem jelenthetnénk ki róla arra az időre vonatkozólag, amely megelőzi ezt az állítólagos keletkezést.”
:G. Frege, ''[[Az aritmetika alapjai]]''
 
Gödel élesen kettéválasztja a ''valódi'' vagy ''objektív matematika''
fogalmát és a ''szubjektív matematika'' fogalmát. Szubjektív matematika alatt olyan elméletet kell érteni, amely valamely formális rendszer keretein belül rekonstruálja az összes eddig ismert matematikai állítást (ilyen például egyesek szerint a halmazelmélet), melyelmellyel szemben a valódi értelemben vett matematika határait nem korlátozzák az ember által létrehozott sáncok. Gödel álláspontja szerint a valódi matematika gazdagságát nem érheti föl az emberi ész, de fontos hozzátennünk, hogy ezen kijelentését egyáltalán nem valami szentimentális közhelyként teszi, hanem tételei következményeként vezeti le. A valódi matematikára jellemző egyfajta ''kimeríthetetlenség'', melyhez a következő két pont alapján juthatunk el.
 
1. Ha a szubjektív matematika axiómáit valamely véges módszerrel generálni tudnánk, akkor sem állíthatjuk, hogy ismerjük a matematikát, mert ekkor a rendszer ellentmondásmentességét kifejező állítás nem lesz levezethető (amenyibenamennyiben az egyáltalán ellentmondásmentes).
 
2. Hasonlóképpen, a valódi matematika is kimeríthetetlen, mert bár a konzisztenciaállítás igaz, de nem levezethető, így az emberi elme számára fel nem tárható (Gödel nyilvánvalónak tekinti, hogy a valódi értelemben vett matematika ellentmondásmentes, hiszen megvalósul).
Ez azt jelenti, hogy ha a matematika emberi alkotás lenne, akkor ismernünk kellene minden tulajdonságát, ami koránt sincs így. Ha ugyanis bár, mi teremtettük volna, de nem ismernénk pontosan működését, az csak úgy lehet, ha működése közben olyan jelenségek is fellépnek, amiket nem vettünk számításba. Ezek szintén valami tőlünk független befolyás lennének, ami ily módon szintén nem általunk alkotott létezők realitását, azaz a platonizmust igazolja.
 
A platonista álláspont a nemteljességi tételek fényében megengedi, hogy olyan állítások is igazak legyenek, melyeket nem tudunk bizonyítani (és cáfolni sem). Amennyiben az igazságértékek metafizikai meghatározottságalmeghatározottsággal bírnak, akkor az emberi elme képes lehet ezeknek az igazságoknak a felismerésére az intuíció révén. Gödel elképzelhetőnek tartja, hogy a távoli jövőben az ilyen állítások igazságát egyfajta ''nem'' [[teljes indukció|matematikai indukcióval]] ismerhessék fel a matematikusok (ahogy az például a fizikában megszokott).
 
(Megjegyezzük, hogy a platonizmus védelmében és a formalizmus ellenében vetik fel azt az érvet, hogy a [[Fermat-sejtés]]t évszázadokon át nem tudták korrektül ''bizonyítani'', holott annak ''igaz'' volta minden matematikus számára, intuitív szinten teljesen bizonyosnak tűnt.)
 
=== H. Putnam: realizmus, ami nem platonizmus ===
 
[[Hilary Putnam|Putnam]] szerint lehet úgy a matematika állításainak előre meghatározott értékét biztosítani, hogy közben nem kell feltennünk a matematikai tárgyak létezését. Putnam ezt a [[lehetséges világok szemantikája|lehetséges világok szemantikájának]], a modális logika szemantikájának gondolata alapján állítja. [[Gödel teljességi tétele]] értelmében ugyanis egy T elsőrendű elmélet akkor és csak akkor ellentmondásmentes, ha van modellje. Ha tekintjük a T elmélettől kissé eltérő (kissé különböző axiomatizálású) elméletek összes lehetséges modellejeinekmodelljeinek összességét, akkor T modellje ebben egy olyan ''lehetséges világ'', melyben T axiómái igazak. Természetesen mindannyian óhajtjuk, hogy a matematika (gödeli értelmbeértelemben vett valódi matematika) ellentmondásmentes legyen, így legyen modellje. Ez azt jelent, hogy axiómarendszere valamely ''lehetséges világ''ban igaz, azaz a matematika tételei lehetséges igazságok, a matematika objektumai pedig modális egzisztenciával bírnak. Putnam állítása szerint tehát a matematika a lehetőségek és lehetetlenségek tudománya, azt mondja meg, mely állítások lehetségesek és melyek nem. Ez nagyfokú objektivitást és az igazságértékek terén teljes meghatározottságot biztosít a matematikai tételeknek, mindamellett nem kell feltételeznünk semmilyen valós létezést.
 
== Formalizmus ==
A történeti formalizmus erős formája a [[Gödel]]-tételek következményeként meglehetősen nagy veszteséget szenvedett. Mind [[Bertrand Russell|Russell]], mind [[David Hilbert|Hilbert]] formalizmusa súlyos ideológiai képekkel terhelt elméletek voltak. Russell formalizmusának hátterében a logicista filozófia, Hilbertében a finitizmus állt. Mindkettőjük hitt azonban a matematika végső alapokra helyezésében, azaz egy olyan formális szuperelmélet létében, melyben az egész matematika formalizálható. (Ezt Russell a Principa Mathematica logikai rendszerében szándékozott megtenni, Hilbert pedig a finit aritmetikában). A legdestruktívabb csapást Gödel tételei az ezekhez hasonló, fundamentalista-formalista elméletekre mérte, bebizonyítva, hogy egy ilyen formális matematikai szuperelmélet ellentmondásmentességét sohasem leszünk képesek igazolni.
 
Ami Gödel után a formalizmusból maradt, az a modellelmélet gondolatköre. Ez a mindenféle logikákkal és ideológiákkal szemben rendkívüli toleranciával viseltető álláspont a matematikát sok formális axiomatikus elmélet együtteseként képzeli el, melyeket nem vezet vissza egyetlen elméletre. Egy matematikai elmélet létjogosultságát az biztosítja, ha formalizálható. Ez teszi egzaktáegzakttá az adott részterület megállapításait. A [[halmazelmélet]]nek sincs kitüntetett szerepe, pusztán segít megfogalmazni a matematikai részterületek állításait és nagy hasznát vehetjük a formalizált elméletek axiómáinak logikai vizsgálatánál. Szemben a halmazelméleti realistákkal (például a Bourbaki-csoport véleményével) a formalizmus egyáltalán nem tekinti a halmazelméleti függvényeket az [[matematikai analízis|analízis]] függvényeinek, vagy az euklideszi teret '''R'''<sup>3</sup>-nak (a [[valós számok|valós szám]]hármasok [[vektortér|lineáris terének]]). Ezek csak halmazelméleti modelljei a megfelelő formális fogalmaknak. A formalizmus alapeszméje, hogy a matematika [[matematikai struktúra|struktúrák]] összessége, melyek vagy önállóan állják meg a helyüket (értsd: végesen vagy rekurzívan axiomatizálhatóak egy formális elmélet keretében), vagy a halmazelmélet illetve a [[kategória (matematika)|kategóriaelmélet]] egy elmélettöredékének minősülnek. Lényegében még az sem szükséges követelmény, hogy egy elmélet axiomatizálását kivitelezzük, elegendő, ha igazolható az axiomatizálhatóság ténye.
 
A kortárs formalizmus megtartotta Russell azon álláspontját, hogy a matematikai állítások nem jelentenek semmit. Ugyan van kapcsolatuk a fizikai világgal, de alapvetően olyan absztrakt kijelentések, melyek legfeljebb önmagukban hordozhatják jelentésüket. A jelentésre azonban egy formalistának amúgy sincs szüksége, mert egy tétel igazságát a formális levezetéséből nyeri és nem a jelentéséhez való viszonyából. Valójában a modern formalizmus nem filozófiai álláspont, hanem egy filozófiatagadó hozzáállás, mely által a matematikusok eltávolodhatnak a nyelvfilozófia ingoványos területétől.{{forrás?}}
=== Bourbaki halmazelméleti realizmusa ===
 
A Bourbaki-csoport fogalmazta meg először azt, hogy a struktúráknak alapvető szerepe van a matematika egységes szemlélete szempontjából. Mindezt szigorúan a halmazelmélet fogalmaival definiált [[matematikai struktúra|struktúrákra]] értették és ragaszkodtak ahhoz a látásmódhoz, hogy:
:''a [[matematika]] egyenlő a [[halmazelmélet]]tel''.
Ezzel ugyan a strukturalizmus előfutáraivá váltak, de Gödel tételeivel szembeni ellenállásuk kiszorította őket a progresszív irányzatok közül. A burbakisták Gödel eredményeit figyelemreméltó, de a matematika halmazelméleti megalapozását nem érintő kijelentéseknek minősítették. Mivel Bourbaki szerint minden matematikai entitás halmazelméleti, ezért Gödel bizonyítása is csak a halmazelméletben jön létre, így csak a halmazelméletben modellezett halmazelméletről állíthat bármit is. Ez szerintük egyáltalán nem zárja ki azt, hogy valaha külső (például finit) módszerekkel igazolhassuk a halmazelmélet ellentmondásmentességét. Bourbaki véleménye filozófiai szempontból vitatható, de a matematika szemszögéből senki sem tagadhatja meg tőlük, hogy a matematikára nem másra, mint a halmazelméletre gondoljanak.
== Verifikacionizmus ==
 
A verifikacionizmus a [[A matematikafilozófia története#Intuicionizmus, konstruktivizmus|történeti intuicionizmus]], elsősorban [[Michael Dummett|Dummett]] és [[Dag Prawitz|Prawitz]]-féle újraértelmezése, a klasszikus logikával kapcsolatban toleránsabb formában. Nem a kizárt harmadik törvényének elvetésére teszi a hangsúlyt, hanem arra, hogy a matematikai tételek jelentését (és egyfajta episztemikus igazságát) a bizonyításunk határozza meg. A verifikacionista álláspont tehát szorosan kapcsolódik a formalizmushoz, amennnyibenamennyiben a formális bizonyításokat tekinti az érvényesség egyetlen feltételének, de a formalizmussal szemben metafizikai tartalmat is hordoz, amennyiben tagadja az igazságértékek valós létét. Eszerint az álláspont szerint az állítások három kategóriába sorolhatók: -bizonyíthatók, -cáfolhatók és -kontingensek (se ez, se az).
 
== Szociálkonstruktivizmus ==
* [http://konyv.uw.hu/evolmatek.htm A matematika ésszerűtlen hatékonysága]. Részlet Stanislas Dehaene: „A számérzék – Miként alkotja meg az elme a matematikát?” című könyvéből.
* Ian Stewart: [http://konyv.uw.hu/matek.rtf 2050 matematikája]
* [http://www.geier.hu/ Geier János honlapja] [http://www.geier.hu/GOEDEL/index.html sok eredeti és híres matematikaifilozófiaimatematikai filozófiai vonatkozású cikk letölthető]
 
{{Filozófia}}