Wikipédia

„Matematikai bizonyítás” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Nincs szerkesztési összefoglaló
52. sor:
A legalsó sorból a következőre tehát így jutottunk el: ha a=c és b=d és a<b, akkor c<d, de a=c és b=d, tehát c<d. Vagyis adott egy „ha ''A'', akkor ''B''” alakú általános érvényű szabály. Tudjuk, hogy jelen esetben ''A'', azaz a feltétel igaz, ezalapján tehát kijelenthetjük, hogy ''B'', azaz a konklúzió is igaz. Az ilyen alakú gondolatmenetek láncolatát nevezzük (logikai) bizonyításnak.
 
Meg kell jegyeznünk, hogy az előbbi bizonyításban ugyan az igazság „felfelé áramlik” (az alsó állításról az eggyel fenntebbirefentebbire öröklődik az igaz minősítés), de az ötlet, a gondolat „lefelé halad”. A fő kérdés, hogy ''mi biztosítaná az állítás igazságát''. Erre a kérdésre keresünk választ, és az első gondolat, hogy emeljük a 4 és 3 legkisebb közös többszöröse azaz 12-nek hatványára az egyenlőtlenséget, ezzel biztosítva, hogy összehasonlítható legyen a két szám. Ha ez utóbbi igaz lenne, akkor az állítás is. A bizonyítások kiötlésével, pszichológiájával foglalkozó témakör az úgy nevezett [[heurisztika]], melynek fontosságára többek közt [[Pólya György]] hívta fel a figyelmet.
 
== Formális és informális bizonyítás ==
122. sor:
Az alábbiakban összefoglaljuk, hogy milyen elvezetési szabályok biztosítják ezeknek az állításoknak a helyességét.
 
A bizonyításokat vizsgálva egyfajta kettősségre bukkanhatunk. Az egyik típus, amikor lépésről lépésre előrehaladva építjük föl az '''A''' bizonyításából a '''B''' bizonyítását, vigyázva természetesen arra, hogy a levezetési lépéseket jól végezzük és az igazság öröklődjön az egyik lépésről a másikra. Ezt nevezik '''direkt bizonyítás'''nak. A másik típus az amikor egy állítás ellenkezőjének lehetetlenségét demonstráljuk – amúgy szintén aprólékos levezetési lépésenként. Ez az '''indirekt bizonyítás'''. A kettősség megjelenése a ókori görög deduktív matematika kialakulása idejére tehető, amikor két eltérő igazolási mód vetélkedett egymással, a [[konstruktív bizonyítás]] (a [[thalész]]i [[kongruenciabizonyítás]]) és a [[Parmenidész]] által egyedüli igazolási módnak tartott, a lehetetlenre történő visszavezetést alkalmazó érvelés ([[Reductioreductio ad absurdum]]).
 
== Direkt bizonyítás ==
164. sor:
== Reductio ad absurdum ==
 
A ¬ '''A''' kijelentés levezethetőségének feltételét a [[Reductioreductio ad absurdum]] vagyis ''a lehetetlenre való visszavezetés'' szabálya adja meg. Ez az indirekt bizonyítások központi lépése. Alkalmazásánál felhasználjuk az ''ellentmondásos elmélet'' illetve az ellentmondás fogalmát. Ellentmondásosnak nevezünk egy ''T'' elméletet, ha létezik olyan '''C''' kijelentés, hogy a '''C''' ∧ ¬'''C''' ('''C''' és nem '''C''') állítás levezethető ''T''-ben, azaz ha
:<math>\mathcal{T}\;:\;\mathbf{C}\!\wedge\!\neg\mathbf{C}</math>
 
175. sor:
| <math>\frac{\mathcal{T}\cup\{\mathbf{A}\}:\mathbf{C}\!\wedge\!\neg\mathbf{C}}{\mathcal{T}:\neg\mathbf{A}} \;\;(\neg\mathrm{be})</math>
| Azaz, ha az az elmélet, melyet úgy nyerünk, hogy az '''A''' kijelentést axiómaként hozzávesszük ''T''-hez (azaz az a feltevés, hogy '''A''' igaz) ellentmondásra vezet, akkor ¬'''A''' levezethető.
(''[[Reductioreductio ad absurdum]]'')
|}
 
182. sor:
ezzel azt juttatjuk kifejezésre, hogy áttérünk arra az elméletre, melyben '''A''' axióma ( ''T'' U {'''A'''} ). Ebből a feltételezésből ellentmondásra jutunk, azaz találunk egy olyan kijelentést, mely a negációjával együtt levezethető a bővítésben. Majd azt mondjuk:
: „lehetetlen tehát, hogy '''A''' igaz legyen, így ¬'''A''' igaz”
amivel azt juttatjuk kifejezésre, hogy a [[Reductioreductio ad absurdum]] elvet kívánjuk használni és ''T''-ből ¬'''A''' -ra következtetünk.
 
A pozitív kijelentésekre vonatkozó levezetési szabályokat ezzel kiegészítve kapjuk a (negatív kijelentések kezelésére is alkalmas) ''minimális logikát''. Ebben érvényes az a tétel, hogy ellentmondásos elméletben minden negatív kijelentés levezethető:
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Matematikai_bizonyítás”