„Neutrális elem” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
2. sor:
{{lektor}}
{{nincs forrás}}
A '''neutrális elem''', '''semleges elem''' vagy '''egységelem''' a [[matematika|matematikában]] az [[algebra]]i [[matematikai struktúra|struktúrák]] elméletének egyik alapvető fogalma. Pontatlanul fogalmazva, egy kétváltozós műveletre nézve a művelet alaphalmazának valamely elemét akkor nevezzük neutrálisnak, ha bármelyik másik elemen ezzel a kitüntetett elemmel végezve a műveletet, „semmi nem történik”, vagyis a neutrális elem helybenhagyja az összes többi elemet.
* Egy lehetséges pontos definíció a következő: adott egy U [[halmaz]] és egy * : U x U → U kétváltozós ''(bináris)'' [[művelet]]. Ekkor az ''n'' ∈ U elem '''''neutrális elem''''' a * bináris műveletre nézve, ha tetszőleges ''x'' ∈ U elemre érvényes: ''x''*''n'' = ''n''*''x'' = ''x.''
* Egy másik definíció a [[grupoid]]-[[transzláció (algebra)|transzláció]] fogalmára alapoz: eszerint az ''n'' ∈ U elem akkor neutrális eleme az (U,*) grupoidnak, ha az ''n'' elemhez tartozó ''Tj'' <sub>''n''</sub> és ''Tb'' <sub>''n''</sub> jobb oldali és bal oldali transzlációk egyaránt az U feletti identikus leképezéssel [[helybenhagyás (matematika)|(helybenhagyással)]] egyenlőek, azaz ha tetszőleges ''x'' ∈ U elemre a ''Tj'' <sub>''n''</sub> ''(x)'' = ''x'' és ''Tb'' <sub>''n''</sub>''(x)'' = ''x.'' Minthogy ''Tj'' <sub>''n''</sub> ''(x)'' := ''x''*''n'' és ''Tb'' <sub>''n''</sub> ''(x)'' = ''n''*''x,'' ez tényleg az előző definícióval ekvivalens.
* Elnevezések és írásmódok:
** Ha a * műveletet összeadásnak nevezzük és +-nak írjuk (ezt gyakorta, bár nem kizárólag akkor tesszük, ha kommutatív); akkor a neutrális elemet szokás '''''nullelem'''''nek nevezni és 0-val jelölni.
** Ha a * műveletet szorzásnak nevezzük és ×-nak írjuk (ezt gyakorta akkor tesszük, ha
== Egyértelműség ==
A neutrális elem egyértelmű (legfeljebb egy van belőle az alaphalmazban). Ugyanis ha ''n,''''m'' ∈ U neutrális elemek, akkor '''''n'''''*''m'' = ''m''*'''''n''''' = ''m;'' mivel ''n'' neutrális;
== Féloldali neutrális elemek ==
21. sor:
Míg a (kétoldali) neutrális elem egyértelmű, a féloldali neutrális elemek többen is lehetnek. Sőt létezik olyan művelet, mely végtelen alaphalmazának minden eleme féloldali neutrális [[#Példák|(ld. 10. példa)]].
Ha egy elem balneutrális, de nem neutrális, akkor valódi balneutrálisnak nevezzük, hasonlóan ha jobbneutrális, de nem neutrális, akkor valódi jobbneutrálisnak.
Megjegyezzük, hogy ha egy műveletre nézve van jobb oldali ''j'' és van bal oldali ''b'' neutrális elem, akkor ezek szükségképp egyenlőek, és így van neutrális elem, hiszen ''x''*''j'' = x miatt ''b''*''j'' = ''b,'' ugyanakkor ''b''*''x'' = ''x'' miatt ''b''*''j'' = ''j.'' Azaz ''b''*''j'' = ''b'' = ''j.''
28. sor:
* egy műveletre nézve akkor és csak akkor létezik neutrális elem, ha létezik egy bal oldali és egy jobb oldali neutrális elem.
* Bármely műveletre bármely ''x'' ∈ U esetén a következő lehetőségek közül egy és csak egy teljesül:
** ''x''
** ''x'' valódi jobbneutrális elem (s ekkor nincs balneutrális elem, tehát neutrális sincs);
** ''x'' (kétoldali) neutrális elem (s ekkor nincs valódi neutrális elem).
43. sor:
# Adott egy A halmazt önmagára képező [[függvény (matematika)|függvények]] [[halmaz]]a (mind az [[értelmezési tartomány]], mind az [[értékkészlet]] része A-nak). E függvények összetétele – egymás utáni végrehajtása, kompozíciója – olyan [[művelet]], melyre nézve az A [[halmaz]]on értelmezett identikus leképezés (identitás vagy [[helybenhagyás (matematika)|helybenhagyás]]) neutrális elem.
# Adott [[test (algebra)|test]] feletti n×n-es [[mátrix (matematika)|mátrixok]] felett értelmezhető a [[mátrixszorzás|szorzás]] [[művelet]]e, erre nézve az [[egységmátrix]] [[egységelem|kétoldali egységelem]].
# Olyan [[művelet]]eket sem nehéz elképzelni, melyek alaphalmazának minden eleme féloldali – vagy mind jobb-, vagy mind bal- – neutrális. Legyen U={''a''
{| align=center
49. sor:
{| border=1
|-
|| *
|-
|| '''a'''
|-
|| '''a'''
|-
|| '''a'''
|}
|
61. sor:
{| border=1
|-
|| *
|-
|| '''a'''
|-
|| '''a'''
|-
|| '''a'''
|}
|}
| |||