Wikipédia

„Rolle-tétel” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a Sanyi4 átnevezte a(z) Rolle tétele lapot a következő névre: Rolle-tétel
Nincs szerkesztési összefoglaló
3. sor:
== A tétel ==
[[Fájl:Rolle's theorem.svg|bélyegkép|300px|Ábra Rolle tételéhez]]
Ha az <math>f</math> függvény folytonos az <math>[a,b]</math> intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és
:<math>f(a)=f(b)</math>,
akkor van olyan <math>a<c<b</math> szám, hogy
:<math>f'(c)=0</math>
teljesül.
 
== Bizonyítása ==
Ha az <math>f</math> függvény az <math>(a,b)</math> intervallumon végig az <math>f(a)=f(b)</math> értéket veszi fel, akkor konstans, tehát deriváltja mindenütt 0.
 
Tegyük fel, hogy egy pontban <math>f</math> értéke ettől eltér, mondjuk. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb <math>f(a)=f(b)</math>-nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a <math>-f</math> függvényre kell alkalmaznunk). A [[Weierstrass-tétel]] szerint a függvény az <math>[a,b]</math> intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen <math>c</math> egy ilyen pont. <math>c</math> nem lehet <math>a</math>-val vagy <math>b</math>-vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond <math>f(c)</math> maximális tulajdonságának. Mivel <math>f</math> a <math>c</math>-ben (mely az értelemezésiértelmezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó [[Fermat-tétel (analízis)|Fermat-tétel]] miatt ott a deriváltja 0. <big><big><big> [[Quod erat demonstrandum|■]] </big></big></big>
 
== Általánosításai ==
21. sor:
''Bizonyítás.'' Indirekt módon tegyük fel, hogy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> ) belső pont esetén ''f'' '(''x'') > 0 vagy ''f'' '(''x'') < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> )-re ''f'' '(''x'') > 0 vagy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> )-re ''f'' '(''x'') < 0, ugyanis ha lenne ''a'' < ''b'' int( <math>I</math> )-beli elem, hogy ''f'' '(''a'') és ''f'' '(''b'') ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a [[Darboux-tétel]]t alkalmazva lenne olyan ''c'' pont az [''a'',''b''] zárt halmazon, hogy ''f'' '(''c'') = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben ''f'' az int( <math>I</math> ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy lim<sub>''α''</sub> ''f'' = lim<sub>''β''</sub> ''f'', tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk. <big> [[Quod erat demonstrandum|■]] </big>
 
Ilyen például az
:<math>x\mapsto e^{-x^2}</math>
függvény.
32. sor:
:<math>x\mapsto \mathrm{sgn}(1-x^2)\sqrt{|1-x^2|}</math>
függvény.
 
A tétel fontos általánosítása még a [[Lagrange-féle középértéktétel]] is, mely (a tétel jelöléseivel)
:<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Rolle-tétel”