„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
a (Bot: 30 interwiki link migrálva a Wikidata d:q208216 adatába)
Nincs szerkesztési összefoglaló
A '''háromszög-egyenlőtlenség''' a trigonometriageometria egyik legfontosabblegalapvetőbb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.
 
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható [[valós számok|valós]] és [[komplex számok]]ra, összegzésekre, integrálokra, és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét [[abszolútérték-függvény|abszolútértékek]] és különféle [[norma (matematika)|normák]] veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.
== A tétel ==
A [[háromszög]] bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz:
<math>a<b+c</math>, <math>b<a+c</math> és <math>c<a+b</math>.
 
 
A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n-dimenziós) [[euklideszi tér]] tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:
<center>AB+BC≥AC</center>
<center>BC+CA≥BA</center>
<center>CA+AB≥BC</center>
 
Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "'''két pont között a legrövidebb út az egyenes'''", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
Valós számokra: <math>|a+b| \le |a|{+}|b|.</math>
 
'''Bizonyítás:'''
 
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
 
:<math> a^2{+}2ab{+}b^2\ \le\ a^2{+}2{|ab|}{+}b^2.</math>
 
Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:
Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:
 
Nyilván <math>|a{+}b|{-}|b| \le |a|.</math>
 
Az
 
:<math>a\mathrel{:=\,}x{+}y,\,b\mathrel{:=\,} {-}y</math>
:<math>|x|{-}|y| \le |x{+}y|.</math>
 
Viszont, ha
 
:<math>b\mathrel{:=\,} {-}x</math>
:<math>\Big| |x|{-}|y|\Big| \le |x{\pm}y| \le |x|{+}|y|</math> minden <math>x,\,y\in\R</math>-re.
=== Komplex számokra ===
Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség::
 
:<math>|z_1{}+z_2| \le |z_1|{+}|z_2|.</math>
 
:<math>
z_1\overline{z_1}{+}z_1\overline{z_2}{+}{\underbrace{\overline{z_1}z_2}_{=\overline{z_1\overline{z_2}}}}{+}z_2\overline{z_2}\
\le\ z_1\overline{z_1}{+}2{\underbrace{|z_1 z_2|}_{=|z_1\overline{z_2}|}}{+}z_2\overline{z_2},
</math>
:<math>z{+}\bar z \le 2{|z|}</math>
 
A ''z'' komplex szám algebrai alakja legyen <math>z = u{+}iv</math>. Ezzel
 
:<math>(u{+}iv){+}(u{-}iv) = 2u \le 2\sqrt{u^2{+}v^2}</math>
A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval
 
:<math>\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n \left| x_i\right|</math>
 
ahol az <math>x_i\;</math> számok lehetnek valósak, vagy komplexek.
 
Integrálokra: Legyen az <math>f:I\to\Bbb{R}</math> függvény Riemann-integrálható, ahol <math>I=[a,b]\,</math> egy intervallum!
Ekkor ugyanis van egy komplex <math>\alpha\;</math> úgy, hogy <math>\alpha\int_I f(x)\, dx=\left|\int_I f\, dx\right|</math> és <math>|\alpha|=1\;</math>.
 
Mivel
 
:<math>\left|\int_I f(x)\, dx\right|=\alpha\int_I f(x)\, dx=\int_I \alpha\, f(x)\, dx=\int_I \operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx+i\,\int_I \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx</math>
 
valós, ezért <math>\int_I \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx</math> szükségképpen egyenlő nullával.
 
Emellett
 
:<math>\operatorname{Re}(\alpha f(x)) \leq |\alpha f(x)| = |f(x)|</math>,
:<math>\left|\int_I f(x)\, dx\right| =\int_I\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_I|f(x)|\, dx</math>.
=== Vektorokra ===
Vektorokra:
 
:<math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|</math>.
Négyzetre emeléssel:
 
:<math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left\langle \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}\right\rangle = \left| \vec{a} \right|^2+ 2 \left\langle\vec{a},\vec{b}\right\rangle+\left|\vec{b} \right|^2 \le \left| \vec{a} \right|^2+ 2 \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right|+\left|\vec{b} \right|^2 = \left(\left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|\right)^2</math>,
 
és a [[Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség]] felhasználásával: