„Kvaterniók” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:
 
: <math>x_0=0 \land x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\qquad\iff\qquad x^2=-1.</math>
 
Geometriailag a tiszta egységkvaterniók egy kétdimenziós gömbfelszínt alkotnak a háromdimenziós térben. Minden kvaternió, aminek <math>-1</math> a négyzete, definiálja a komplex számok egy beágyazását:
 
: <math>\mathbb C\to\mathbb H,\qquad a+b\mathrm i\mapsto a+bx,\quad a,b\in\R.</math>
homomorfizmust kapunk.
 
Ez egy kétrétegű fedés, aminek [[mag (matematika)|magja]] a <math>\{\pm1\}</math> [[centrum (algebra)|centrum]]. A [[fedés (topológia)|fedés]] univerzális, hiszen <math>\mathrm{SU}(2)\cong S^3</math> egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és <math>\mathrm{Spin}(3)</math>-mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az <math>\mathrm{SU}(2)</math> → <math>\mathbb C^2</math> leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, '''i''', '''j''' és '''k''' az SU(2) három [[hermitikus mátrix|hermitikus generáló mátrixának]], a [[Pauli-mátrixok]]nak felel meg:
 
:<math>\sigma_x :=\begin{pmatrix} 0, 1\\ 1, 0\end{pmatrix}</math>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\sigma_y :=\begin{pmatrix} 0, -i\\ +i, 0\end{pmatrix}</math>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\sigma_z :=\begin{pmatrix}+1, 0\\ 0, -1\end{pmatrix}</math>&nbsp;
Így függ össze a két alaptétel:
 
''' i ''' = '' σ<sub>x</sub>/i '' , ''' j ''' = '' σ<sub>y</sub>/i '' és ''' k ''' = '' σ<sub>z</sub>/i '',
 
ahol ''i'' a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σ<sub>x</sub>σ<sub>y</sub>= '' i ''σ<sub>z</sub> kapcsolat éppen az ''' i ''' <math>\cdot</math> ''' j '''=''' k ''' relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a '''i''', '''j''' és a '''k''' báziskvaterniókkal, ami fontos a [[kvantummechanika]] matematikai modellezésében. Közelebbről <math>\mathrm{SU(2)}\equiv\{ \exp(i\frac{1}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma)\}</math>, aminek valós vektorkoordinátái α<sub>x</sub>, α<sub>y</sub> és α<sub>z</sub>. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2'' π ''-vel &nbsp;(=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.
=== A négydimenziós tér ortogonális leképezései ===
A háromdimenziós esethez hasonlóan <math>\mathbb H</math> minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:
 
A kvaterniókat [[CAD]] programok is felhasználják<ref>{{cite web
| url = http://books.google.hu/books?id=5wHxT5W424QC&pg=PA56&lpg=PA56&dq=quaternions+in+CAD&source=bl&ots=0X1N7VnZ1T&sig=F1LYNdXoA00VNoDPQBZKZv71JKs&hl=hu&sa=X&ei=8fONUbXkKMbftAbt0oCgDA&ved=0CGUQ6AEwBg#v=onepage&q=quaternions%20in%20CAD&f=false | title = Applied geometry for computer graphics and CAD | author = Marsh Duncan| year = 2005| accessyear = 2013| format = | publisher = Springer| id = ISBN 1-85233-801-6, ISBN 1-85233-080-1| pages = 56-65| chapter = 3.5 Quaternions| language = angol}}</ref> a térbeli elforgatások kezelésére és az elforgatás tengelyének és szögének tárolására, ugyanis egy kvaternióhoz csak 4 lebegőpontos adatot kell tárolni (a tengellyel együtt), szemben az elforgatási mátrix 3×3 elemével és az elforgatás tengelyéhez szükséges további 3 elemmel. A kvaternió könnyedén átalakítható elforgatási mátrix alakba, és a kvaterniókkal való számítások gyakran kevesebb műveletet igényelnek, mint a vektoros–mátrixos számítások.<ref>{{cite web
| title = Applied geometry for computer graphics and CAD | author = Marsh Duncan| year = 2005| accessyear = 2013| format = | publisher = Springer| id = ISBN 1-85233-801-6, ISBN 1-85233-080-1| pages = 56-65| chapter = 3.5 Quaternions| language = angol }}</ref> a térbeli elforgatások kezelésére és az elforgatás tengelyének és szögének tárolására, ugyanis egy kvaternióhoz csak 4 lebegőpontos adatot kell tárolni (a tengellyel együtt), szemben az elforgatási mátrix 3×3 elemével és az elforgatás tengelyéhez szükséges további 3 elemmel. A kvaternió könnyedén átalakítható elforgatási mátrix alakba, és a kvaterniókkal való számítások gyakran kevesebb műveletet igényelnek, mint a vektoros–mátrixos számítások.<ref>{{cite web
| url = http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#Performance_comparisons
| title = Quaternions and spatial rotation | accessyear = 2013| year = 2013| format = wiki| publisher = Wikipedia| language = angol }} A kvaterniók és a térbeli elforgatás, A teljesítmény összehasonlítása</ref>
Kvaterniókat alkalmaz pl. a [[MicroStation]] CAD program.<ref>{{cite web
| url = http://dgnlib.maptools.org/dgn.html | title = Intergraph Standard File Formats (Element Structure) / Quaternion (3D) | accessyear = 2013| year = 2001| publisher = Intergraph | language = angol }} Intergraph és MicroStation szabványos adatformátumok</ref>
 
=== Négynégyzetszám-tétel ===
A kvaterniókhoz hasonló konstrukciókat hiperkomplex számoknak is nevezik. A [[Cayley-számok]] a kvaterniók nyolcdimenziós analogonjai. Az ő körükben a szorzás se nem kommutatív, se nem asszociatív. A Cayley-számok szorzása alternatív:
 
: <math>a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b</math> és <math>a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b</math> minden ''a'', ''b'' Cayley-számra.
 
== Források ==