„Végtelen leszállás” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
A '''végtelen leszállás''' egy [[indirekt bizonyítás]]i módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden részhalmazának van legkisebb eleme. A módszert [[Pierre de Fermat]] fejlesztette ki, és sok eredményéhez ezzel a módszerrel jutott el. A nagy Fermat-tétel ''n'' = 4-hez tartozó speciális esete például belátható végtelen leszállással.
 
A huszadik század számelmélete újra felfedezte a végtelen leszállást. Hozzákapcsolódott az algebrai számelmélethez és az L-függvényekhez. Mordell eredménye, hogy az [[elliptikus görbe|elliptikus görbék]] racionális pontjainak [[csoport]]ja végesen [[generátorrendszer|generált]], szintén végtelen leszállással adódott. André Weil ezt az eredményt terjesztette ki magasságfüggvény használatával; ez később úttörőnek bizonyult. A Mordell-WeilMordell–Weil tétel nyomán egy egészen új elmélet alakult ki.
 
==Általános eljárás==
\end{align}</math>
 
azaz √''k'' kifejezhető kisebb suzámokkalszámokkal, ami ellentmondás.<ref>{{Citation | last = Sagher | first = Yoram | year = 1988 | month = February | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 95 | page = 117 | title = What Pythagoras could have done}}</ref>
===''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = 3(''s''<sup>2</sup> + ''t''<sup>2</sup>)===
Végtelen leszállással megmutatható, hogy az
egyenlet egyetlen megoldása <math>a=b=s=t=0</math> az egész számok halmazán.
 
Tegyük fel, hogy van nem triviális megoldás! Ekkor van nem negatív megoldás is, ugyanis <math>a,b,s,t</math> mindegyike helyettesíthető az abszolútértékévelabszolút értékével. Ezután elég a nem negatív megoldásokkal foglalkozni.
 
Legyen most <math>a_1, b_1, s_1, t_1</math> egy nem negatív megoldás! Ekkor
:<math> 3 \mid a_1^2+b_1^2 \, </math>
 
Ez csak úgy lehet, hogy <math>a_1</math> és <math>b_1</math> is osztjhatóosztható 3-mal. Legyen
 
:<math>3 a_2 = a_1 \text{ and } 3 b_2 = b_1. \, </math>
:<math> 3(a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2, \, </math>
 
ami egy új nem negatív ''s''<sub>1</sub>, ''t''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub> megoldást ad. Ezek összege kisebb, mint az eredetié. Ez az eljárás végtelenmszervégtelenszer megismételhető, ami ellentmond annak, hogy a természetes számoknak nincs végtelen hosszú szigorúan monoton csökkenő sorozata.
 
Tehát ennek a diofanmtoszidiofantoszi egyenmletnekegyenletnek nincs nem triviális megoldása.
===''r''<sup>2</sup> + ''s''<sup>4</sup> = ''t''<sup>4</sup>===
Nevezetes példa a nagy Fermat-tétel egy speciális esetének bizonyítása. A páratlan prímek mellett elég az ''n'' = 4 speciális esetre belátni a megoldhatatlanságot. Többet bizonyítunk, az <math>q^4 + s^4 =t^4</math> egyenlet helyett az <math>r^2 + s^4 =t^4</math> egyenletet használjuk. Egy újabb bizonyítás egy még általánosabb esettel foglalkozik, hogy nincs olyan pitagoraszi háromszög, aminek befogói egy négyzet és egy négyzet kétszerese.<ref>Dolan, Stan, "Fermat's method of ''descente infinie''", ''[[Mathematical Gazette]]'' 95, July 2011, 269–271.</ref>
 
[[Kategória:Matematikai logika]]
[[Kategória:Diofantoszi egyenletek]]