„Catalan-sejtés” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
:<var>x</var><sup><var>a</var></sup>&nbsp;‒ <var>y</var><sup><var>b</var></sup>&nbsp;= 1
egyenlet egyetlen megoldása
<var>x</var>,<var>a</var>,<var>y</var>,<var>b</var>&nbsp;&gt;&nbsp;1 [[egész számok]] esetén:
:3² &nbsp;‒ 2³ = 1
 
Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett ''exponenciális'' [[diofantoszi egyenlet]]re. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor ''a, b'' prímszámok. [[Carl Ludwig Siegel]] egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített ''a, b'' esetén csak véges sok megoldás van. [[Robert Tijdeman]] [[1976]]-ban, felhasználva [[Alan Baker]] logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül [[Preda Mihǎilescu]] [[2002]]-ben bebizonyította Catalan sejtését, tehát az most már sejtésből [[tétel]]lé vált.
==Története==
A probléma Levi ben Gershonig követhető vissza, aki 1343-ben belátta azt az esetet, amikor ''x'' és ''y'' 2 vagy 3.
Az általános sejtés az [[abc-sejtés]] következménye lenne.<ref name=rnt/><ref>{{cite book | last=Schmidt | first=Wolfgang M. | authorlink=Wolfgang M. Schmidt | title=Diophantine approximations and Diophantine equations | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1467 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1996 | edition=2nd | isbn=3-540-54058-X | zbl=0754.11020 | page=207}}</ref>
 
[[Erdős Pál]] szerint van egy ''c'' szám, hogy ha ''d'' két ''n''-edik hatvány különbsége, akkor elég nagy ''n''-re ''d''&gt;''n''<sup>''c''</sup>.
 
==Jegyzetek==
* Catalan, Eugene. (1844): {{lang|fr|Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur. J. Reine Angew. Math., 27:192.}}
* {{cite journal | author=Preda Mihăilescu | authorlink=Preda Mihăilescu | title=Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture | journal=J. Reine angew. Math. | volume=572 | year=2004 | pages=167–195 | url=http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.2004.048 | doi=10.1515/crll.2004.048 | issue=572 |mr=2076124}}
* {{cite book | author=Paulo Ribenboim | authorlink=Paulo Ribenboim | title=Catalan's Conjecture | publisher=Academic Press | year=1994 | isbn=0-12-587170-8}} Predates Mihăilescu's proof.
* {{cite journal | author=Robert Tijdeman | authorlink=Robert Tijdeman | title=On the equation of Catalan | journal=Acta Arith. | volume=29 | issue=2 | year=1976 | pages=197–209}}
* {{cite journal | author=Tauno Metsänkylä | url=http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf | format=PDF | title=Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=41 | year=2004 | issue=1 | pages=43–57 | doi=10.1090/S0273-0979-03-00993-5}}