„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
[[Fájl:Hasse diagram of powerset of 3.svg|jobbra|bélyegkép|250px|Az {''x'', ''y'', ''z''} halmaz hatványhalmazának az elemei [[Hasse-diagram]]mal ábrázolva]]
A [[halmazelmélet]]ben egy [[halmaz]] '''hatványhalmazának''' nevezzük az adott halmaz összes [[részhalmaz]]ainak a halmazát.
 
==Definíció==
Ha <math>H</math> [[halmaz]], akkor <math>\mathcal{P}(H)</math>-val jelöljük és a <math>H</math> halmaz '''hatványhalmazának''' nevezzük a <math>H</math> összes [[részhalmaz]]ainak halmazát.
 
===Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet===
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható ''T(x)'' tulajdonságra az {''x''|''T''(''x'')} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük ''halmaznak,'' hanem csak ''osztálynak.'' Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a ''H'' kifejezés ''halmaz,'' ha levezethető az <math>(\exists y)(H\in y)</math> formula. Ezt a formulát ''Set(H)''-val jelöljük és jelentése: "''H'' halmaz ". Rövidítsük az <math>\{x|x\subseteq H\}</math>-t <math>\mathcal{P}(H)</math>-val. Ekkor a '''hatványhalmaz axióma''' a következő formula:
 
<math>(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x))) </math>
===Bourbaki-halmazelmélet===
 
A [[Bourbaki-csoport|francia matematikuscsoport]] által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden ''A'' formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és ''x'' változó esetén <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> jelöli az <math>(\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x))</math> formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> tétel, akkor azt mondjuk, hogy ''az A formula kollektivizáló az x változóban.'' A '''hatványhalmaz axióma''' ekkor a következő formula:
 
<math>(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))</math>
ahol <math>y\subseteq x</math> jelöli az <math>(\forall u)((u\in y)\Rightarrow (u\in x))</math> formulát.
 
==Tételek a hatványhalmazról==
* '''Tétel''' – Ha ''H'' [[véges halmaz]] és elemszáma az ''n'' természetes szám, akkor ''H'' hatványhalmazának [[számosság]]a <math>| \mathcal{P}(H) | = 2^n</math>.
 
:''Megjegyzés:'' Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló jelölést.
 
* '''Tétel''' – ''([[Cantor-tétel]])'' – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál.
 
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.
 
* '''Állítás''' – Ha ''H'' halmaz, akkor a
* <math>(\mathcal{P}(H),\cup)</math> és <math>(\mathcal{P}(H),\cap)</math> (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes [[félcsoport]]ok
* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\cup</math>-val és <math>\cap</math>-val mint műveletekkel ellátva [[Boole-algebra|Boole-algebrát]] alkot
 
==Történeti adalékok==
Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált [[Cantor-antinómia]] a Cantor-tételből következik. Legyen ''U'' az összes halmazok halmaza, azaz bármely ''H'' halmazra <math> H\in U </math>. A [[naiv halmazelmélet]] szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így ''U''-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: <math>|U|<|\mathcal{P}(U)|\leq |U|</math>, ami ellentmondás.
 
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a <math>\mathcal{P}(U)</math> összességet, de mivel ''Set(U)'' cáfolható, azaz ''U'' nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
 
* Kristóf János, ''Az analízis elemei. I.,'', ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
* Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
* [http://planetmath.org/encyclopedia/NicolasBourbaki.html Cikk a Bourbaki-csoportról]
 
[[Kategória:Halmazelmélet]]