„Növelő részfélcsoport” változatai közötti eltérés

<center><big> S^(b)&nbsp;:=&nbsp;{n∈S&nbsp;|&nbsp; ∃T∈''[[hatványhalmaz|P]]''(S):(T≠S ∧ nT&nbsp;=&nbsp;S) } </big></center>

** Ehhez elegendő belátni, hogy van olyan V⊂S, melyre mV épp az S n szerinti őse (azaz T). Ilyen van, hiszen ∃U⊂S: mU&nbsp;=&nbsp;S, és a jobb oldali halmazból kiválasztva a T-beli elemek m szerinti ősének elemeit, ezek előállnak m'''u''' – ahol u∈U – alakban; ekkor ezen U-beli u-k halmaza legyen V. Tehát mV&nbsp;=&nbsp;U és így (nm)V&nbsp;=&nbsp;n(mV)&nbsp;=&nbsp;nT&nbsp;=&nbsp;S, tehát nm balnövelő elem [[Quod erat demonstrandum|■]].

** Ehhez elegendő belátni, hogy van olyan V⊂S, melyre Vm épp az S n szerinti őse (azaz T). Ilyen van, hiszen ∃U⊂S: Um&nbsp;=&nbsp;S, és a jobb oldali halmazból kiválasztva a T-beli elemek n szerinti ősének elemeit, ezek előállnak '''u'''m – ahol u∈U – alakban; ekkor ezen U-beli u-k halmaza legyen V. Tehát Vm&nbsp;=&nbsp;U és így V(mn)&nbsp;=&nbsp;(Vm)n&nbsp;=&nbsp;Tn&nbsp;=&nbsp;S, tehát nm jobbnövelő elem [[Quod erat demonstrandum|■]].

Ez a következő állításból következik: egy (S, ¤) félcsoport egyik eleme sem lehet egyszerre balnövelő és jobbnövelő elem.

Az [[Növelő részfélcsoport#A növelő részfélcsoportok diszjunktak|előző állítás]] egyszerű következménye az alábbi: Jelölje <code>S⁽⁰⁾</code> az <code>(S,¤)</code> félcsoport se nem jobb-, se nem balnövelő elemeinek halmazát, vagyis legyen <center><big>S⁽⁰⁾&nbsp;=&nbsp;S\(S^(j)∪S^(b))</big>.</center>

Ekkor<br> <center>S&nbsp;=&nbsp;S^(b)ΔS^(j)ΔS⁽⁰⁾;</center> vagyis S^(b), S^(j), S⁽⁰⁾ páronként diszjunkt ostályokraosztályokra bontása S-nek (<code>Δ</code> a halmazok [[szimmetrikus differencia|szimmetrikus differenciáját]] jelöli).

Azaz:

Tegyük fel például, hogy S^(b)-nek mégis csak lenne egy n∈S^(b) jobbnövelő eleme (tehát lenne olyan valódi részhalmaz, Y⊂S^(b), amelyre Yn&nbsp;=&nbsp;S^(b)); ebből következően az S^(b) minden eleme, így az n elem is „előállítható” '''y'''n alakban, tehát valamely y∈Y-nal yn&nbsp;=&nbsp;n. Belátjuk, hogy ez az y bal oldali egységeleme S-nek. Az n elem balnövelő eleme S-nek (hisz n∈S^(b)), tehát van olyan T⊂S valódi részhalmaza S-nek, amelyre nT&nbsp;=&nbsp;S, és így az S tetszőleges s∈S elemére van olyan x∈T, amelyre nx&nbsp;=&nbsp;s; és így ys&nbsp;=&nbsp;y(nx)&nbsp;=&nbsp;(yn)x&nbsp;=&nbsp;nx&nbsp;=s.

* Lajos Sándor: ''A félcsoportok növelő elemeiről''. Tanulmány, megjelent: ''A [[Magyar Tudományos Akadémia]] III. oszt. (matematikai és fizikai tudományok osztályának) közleményei'' XV. köt. 3. sz. Akadémiai Kiadó, Bp., [[1965]] . Főszerk. Alexits György. 273.-288. old.