„Ötödfokú egyenlet” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a
[[Lineáris egyenlet|Lineáris]], [[másodfokú egyenlet|másod]]-, [[harmadfokú egyenlet|harmad]]- és [[negyedfokú egyenlet|negyedfokú]] [[egyenlet]]ek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök [[racionális szám|racionális]]ak, [[irracionális szám|irracionális]]ak, [[valós számok|valós]]ak vagy [[komplex számok|komplex]]ek; vannak [[megoldóképlet]]eik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az <math>n</math>-edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az [[Abel–Ruffini-tétel]], melyet először 1824-ben publikáltak, mint az egyik első alkalmazását az algebrai [[csoportelmélet]]nek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre, mely nem fejezhető így ki a <math>x^5 - x + 1 = 0</math>. Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.
 
A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a [[Laguerre-módszer]], vagy a [[Jenkins–Traub algoritmus]] valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyeletekegyenletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.
 
== Megoldható ötödfokú egyenletek ==
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például <math>x^5 - x^4 - x + 1 = 0\,</math> felírható mint <math>(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)^2 = 0\,</math>. Más ötödfokú egyenlet mint például a <math>x^5 - x + 1 = 0\,</math> nem fejezhető ki ilyen alakban. [[Évariste Galois]] kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a [[Galois-elmélet]] területét. Ezeket az eljárásokat először [[John Stuart Glashan]], [[George Paxton Young]], és [[Carl Runge]] alkalmazta [[1885]]-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban).
Azt találták, hogy bármely [[Irreducibilis polinom|irreducibilis]] ötödfokú polinom racionális együtthatókkal [[Erland Samuel Bring|Bring]]-[[George Jerrard|Jerrard]] formában,
 
:<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0</math>
 
ahol <math>\mu</math> és <math>\nu</math> racionálisak. [[1994]]-ben, [[Blair Spearman]] és [[Kenneth S. Williams]] egy alternatív kritériumot talált,
 
:<math>x^5 + \frac{5e^4(\pm 4c + 3)}{c^2 + 1}x + \frac{-4e^5(\pm 11+2c)}{c^2 + 1} = 0.</math>
valamely racionális <math>a, y</math>-ra.
 
Mivel a [[Tschirnhaus-transzformáció]]k megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.
 
== Források ==